Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Разницу между устойчивостью и чувствительностью можно проиллюстрировать на следующем наглядном примере*). Физиологические процессы в организме животного, впадающего в зимнюю спячку, устойчивы, но обладают высокой чувствительностью к температуре среды. Действительно, зимой, когда температура среды непрерывно остается пониженной, в системе устанавливается стационарный режим, в котором значения физиологических переменных в организме существенно изменены по сравнению с исходным летним периодом. Стоит, однако, снять внешнее температурное возмущение, как это происходит весной, и в физиологических системах организма возникает свободное движение от зимних начальных условий, заканчивающееся восстановлением исходного состояния. Это движение асимптотически устойчиво. Возникающие ситуации подробно рассмотрены на рис. 3.13.
Перейдем теперь к рассмотрению основных понятий, связанных с чувствительностью систем, как это обычно делается в теории автоматического управления [46, 176, 207].
Рис. 3.12. Ситуации, в которых исследуется устойчивость и чувствительность в теории управления. При исследовании устойчивости рассматривается свободное движение системы— возмущение должно быть снято до начала процесса управления (/). При исследовании чувствительности рассматривается поведение системы при изменившемся значении какого-либо параметра, т. е. действие возмущающего фактора продолжается постоянно (2).
*) Этим примером автор обязан Ю. Кейкспайку.
Пусть, например, исходная система описывается уравнением
4j-f(x,a) (3.38)
при начальном значении Хо, а — параметр. Если в некоторый tt
Рис. 3.13. Сравнение понятий устойчивости н чувствительности на примере физиологических систем организма животных. Показано условное изменение температуры среды в течение года (а); температура тела торпидных (впадающих в спячку) животных (б); температура тела животных, сохраняющих зимой активный образ жизни (в). Принято, что «нормальной» является относительно высокая летняя температура среды, а знмнее снижение температуры рассматривается как действие постоянного возмущения — Aft • 1 (i). Кроме того, рассматриваются кратковременные возмущения температуры в моменты времени fi и t*. Зимним условиям соответствует интервал времени {to, <»), летним — интервал t ^ <3. Анализ чувствительности системы терморегуляции к изменению параметра АО корректен и а временном интервале (to, t); анализ устойчивости свободного движения в системе —на интервалах {tit tз), (t", ti) и прн t^t$. Все свободные движения, показанные на рисунке, устойчивы (это относится к переходным процессам, начинающимся в точках U, tt, ts). Система терморегуляции на рис. 3.13,6 чувствительна к изменению параметра Ад (процесс, начинающийся в точке to), а система на рис. 3.13 в нечувствительна к этому параметру. К рассмотрению примера можно вернуться еще раз после прочтения всего текста данного
раздела.
момент времени величина а получила приращение А а, то варьируемое движение описывается уравнением
4Y = f(x, а + Аа),
(3.39)
а дополнительное движение
Л x(t) = x(t)-x(t). (3.40)
Если вариация А а настолько мала, что можно ограничиться линейным приближением при разложении x(t) и x(t) в ряд Тейлора по а, то из (3.40) можно получить уравнения первого приближения
Л* = (-If) • А а.
' да ' Аа=0
Функция времени
(3.41)
ы(0
____ дх (t)
да
(3.42)
называется функцией чувствительности координаты х к параметру а.
С помощью функций чувствительности можно оценить степень влияния того или иного параметра на координаты системы и найти отклонение процессов в варьированной системе от процесса в исходной системе как функцию времени.
Ниже в этой книге мы, как правило, будем .интересоваться зависимостью переменных х системы от изменяющихся условий внешней среды, v. Покажем, как в этом случае можно сформулировать задачу так, чтобы свести ее к анализу чувствительности системы. Допустим, что на систему действует внешний
сигнал в виде ступенчатого возмущения величиной v. Будем рассматривать величину v в качестве параметра системы, на которую действует одно и то же внешнее воздействие — единичное ступенчатое возмущение. Тогда
v (t) = v • 1 (О, где символ 1 (t) означает единичный скачок:
ГО, t < О,
К0 = { u ,>0> (3.43)
Теперь мы можем сравнивать поведение исходной и возмущен-
ной систем, отличающихся величиной v, на одно и то же воздействие 1(0. Если нас интересует чувствительность переменной х к изменениям величины v, то теперь можно воспользоваться формулой (3.42).
Пример 3.6.1. Вернемся к схеме пассивной регуляции темпа поступления кислорода в ткани, показанной на рис. 3.9, б. Переменная х согласно (3.20) и (3.21) описывается уравнением
х = -рг [k (а — х) — ад], (3.44)
