Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Pl2 ' Г P13 Г23 = Г12,
РцГ23 + р13 = г13, (58)
где р — не что иное, как коэффициенты путей. Решая эти уравнения, получим
Г12 Г23
__ г12 — Г13г23
Pl2 = ~^~
г23
(59)
'23
что является частным случаем решений (54). Коэффициент частной корреляции между X] и Х2, исключающий влияние Хз (которое мы будем считать постоянным), дается формулой
__ г12 ~ ^23 /ел\
г 12 з---— — . (60)
V1 — '13 1 — г.
Простой вывод этой формулы приводится в прим. 15 и 16 в конце данной главы. Сопоставляя выражения (59) и (60), получаем простую зависимость
V
l/l -Г
Поскольку обычные коэффициенты регрессии (b) и коэффициенты путей (р) связаны формулой [см. (47*)] Р12 = bi2(cr2/ai), мы получаем урав-
нение
a*V1
-г,2
23 « 02.3
J12’ _ ,-------------~ и12' > (^2)
2 а1.3
Г
13
где (Т2.з=^г]/ 1—г13 — уменьшившееся стандартное отклонение Х2 после того, как мы исключили влияние Х3. Подобно этому, знаменатель (62) уменьшается до стандартного отклонения Xj. Из элементарной статистики читатель может вспомнить, что если г=гхг — коэффициент корреляции между х и у, то доля г2 от дисперсии у определяется через его корреляцию с х, тогда как доля 1—г2 от дисперсии является остаточной дисперсией у без учета влияния х. В этом случае дисперсия записывается в виде а2 „ =а (1—г2). В выражении (62) используется уменьшившееся
У’* У
стандартное отклонение. Последние четыре выражения (59) — (62) можно обобщить на случай любого числа переменных. Их применяют также и в случаях двух переменных, когда (62) сводится к знакомой формуле ri2 = bi2(a2/ai).
Это краткое рассмотрение коэффициентов путей представляет собой достаточно полное введение в предмет. Развитие изложенной темы можно найти у Райта [696, 697, 703].
ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассмотрим нормальные уравнения (57). Если мы запишем 2X2/n = a? и 2,XiXj/n = Co\{Х{, Xj)=rtJai о}, то нормальные уравнения (57) примут вид
^12 а2 ~Г~ ^13 Г23 ®2 ®3 == Г12 °1 a2>
Покажите, что
¦112Г2за2аз 1 bl3a3 ^13 ^1 ^3*
L ______ Г12— Г13Г23 а1 ________________ - а1
'12 — Z — Р12
1 — г23 °2 °2
2. Получите решение относительно Ь\3 и представите его в таком же виде.
3. Имеются наборы данных о трех переменных, которые измерены в отклонениях от своих средних.
Набор данных I Набор данных II
*2 *3 Xi *2 *3
---6 ---4 --- 1 ---5 ---4 --- 1
+5 --- 1 +3 0 ---1 +3
---2 0 ---1 +2 0 ---1
---2 +2 ---2 + 1 +2 ---2
+5 +3 + 1 +2 +3 + 1
0 0 0 0 0 0
Чему равна величина гг3? Рассчитайте значения Г]2 и г\з для обоих наборов данных. Для какого набора rf2=rf3= 1 и для какого эта сумма меньше единицы? Почему? Найдите значения Ь]2 и Ь13 для обоих наборов. Какими будут уравнения линейной регрессии Х\ на Х2 и Х3?
Ответ: (I) (П) Х\ — b\2X2-\-b\$X%-\-E, где Е— некорре-
лированная «ошибка».
4. Предположим, что Y=X 1+^2+-.Допустим также, что все попарные корреляции между X одинаковы (щ = г) и что коэффициенты путей от Xi к У одинаковы для всех Xi, т. е. что bt =b. Построим диаграмму путей, соответствующую этой ситуации. Чему равна полная корреляция между У и Х{? По теореме о полной детерминации
kb2 -f k (k — 1) bb = 1, ft2 =---------.
k[l + (k-l)r]
Сумма всех путей, соединяющих У и Xi, равна [230]
rYX_ = rYi ~'Ь + {k — \)br = b[\ +(k—l)r).
Покажите, что, исключив г или Ь, мы получим
Гу. = b/kb2 = II kb,
или
1 + (k — 1)r
ГУг= '
1 + (k- 1) r
Vk[l+{k—l)r\ V k
5. Для случая суммы двух некоррелирующих переменных Y=A-\-B, где гАВ — 0, имеем
А 34 3 40 28 14 25 31 25 200 Л = 25
В 2 4 5 7 10 13 14 17 72 5 = 9
V 36 7 45 35. 24 38 45 42 272 К = 34
2 (А—А)2 = 956 <А = 119,5
; (В—В)2 = 200
_2
сГв = 25
I (К—К)2
