Введение в популяционную генетику - Ли Ч.
Скачать (прямая ссылка):
[Х]х= 1,00 [V] = 1,00 гху = 0,07157+0,34384+0,13262 = 0,72767
20 336 20 336
Прямое определение: rXY =----------- ¦ — = — = 0,72767.
У (5700-137 021,08) 27 946,7
1 [X] — полная детерминация X.
И. Сумма некоррелирующих переменных. Для простой схемы У= =Л]+Л2, в. которой две причины не коррелируют, существует важный частный случай, когда две причины имеют равные дисперсии. При этом У в равной степени детерминируется как Ль так и Л2. Для следующих
двух наборов данных покажите, что ai = a? = a =
^1 I I 1 1 1 1 0 0 0 6 2
3
2
а2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 6 3
V 2 2 2 2 1 1 1 1 0 12 4
3
Ах 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 12 3
4
а2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 12 3
4
V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 24 3
2
12. Пусть, как и в предыдущей задаче, Y=A\-\-A2, где две причины имеют равные дисперсии, но коррелируют с гл л —г.
А\ 1 1 1 1 1 1 0 0 0
а2 1 1 1 1 0 1 1 0 0
V 2 2 2 2 1 2 1 0 0
1. Сначала найдите величину г = га1а2.
2. Найдите также величины двух коэффициентов путей а,\ и а2. Равны ли они? Если да, то почему? Обозначьте их величину через а = а\ = а2.
3. Покажите, что при полной детерминации X
2 а% + 2ah = 1, и проверьте это соотношение численно.
Ответ: г=~, а= л[_L = 0,57735.
2 V 3
13. На рис. 14.11 изображена некоторая система зависимостей (коэффициенты путей обозначены строчными буквами).
1. Найдите выражения для rxw, rxz, rYw, rYz и rXY через коэффициенты путей.
2. Если w = w'=z = z' и a = b = c = d, то какими тогда будут выражения для этих коэффициентов корреляции?
Ответ:
1. тш = aw + czrwz и т. д.,
rXY = aww'b + cz-z'd + aw (rwz) z'd -f c.z (rwz) wb.
2- rxw= rxz = rvz = aw -h awrwz = aw [1 + rwz),
rXY — 2aw-wa + 2awrwz wa = 2aW (1 -f rwz).
14. Найдите коэффициенты корреляции между X и У для системы зависимостей, приведенной на рис. 14.12, предполагая, что все коэффициенты путей равны
Ответ: гхг = 4- (-^-)4=
15. Частная корреляция между Х\ и Х2 без учета влияния Х3 (все причины оцениваются по соответствующим средним) определяется как простая корреляция между Xi.3 и Х2.3, где Х\ш3=Х\—Ъ13Х3, Х2.3 — Х2— —Ь23Х3, а Ь\3 — простой коэффициент регрессии Х\ на Х3. Такой же смысл имеет Ь23. Нормальными уравнениями, определяющими эти коэффициенты регрессии, будут соответственно
2Х3 (X, - Ь13Х3) = О, 2Х3 (X, - Ь23Х3) = 0.
Величина bi3X3 равна величине Xlt предсказанной (или оцененной) на
Рис. 14.11. (См. упр. 13.) Рис. 14.12. (См. упр. 14.)
основании регрессии на Х3. Отсюда величина Xi.3=Xi—bl3X3 и равна величине X], когда она не испытывает влияния Х3. Сходный смысл имеет ^2.з- Корреляция этих двух переменных равна
Cov (Х1Л, Х2.3) = Е(Х1- blsX3) (Х2 - Ь23Х3) = ЕХх (Х2 - Ь23Х3).
Второй член обращается в нуль, так как ИХ3(Х2—623X3)= 0. Следовательно,
Cov (Хг.3) Х2.3) = г 12о'1ст2 —
Произведя подстановку Ь2з — г23с!21о3, мы получим
Cov (Хх з, Х2 3) = СГ1СТ2 (г12 Г13Г23).
Отыскание дисперсии Х].3 не составляет труда:
«?.> = м1з = Е № - ». А) (х. - », А) = вх< А - <>. А) + о =
= °г1-ья'я<’Л = “Н1 ~ГЧ-
Подобно этому, сг| 3= (1—г\3). Следовательно, корреляция между Х\.3
и Х2.3 равна
^ _ Cov (Xj.3, Х2.з) _ r12~~ г13г23____
Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков, например г 12.34, можно получить таким же образом, вычисляя Xi,34 и Х2.34, где Xi.3i=Xi—b 13.4X3—b 14.3X4 и т. д. [711].
16. Коэффициент частной корреляции г 12.3 также может быть выведен с помощью метода коэффициентов путей [703]. Используя систему 17—322
обозначений, введенную в предыдущем упражнении, мы запишем
Каждое из этих выражений представляет простую систему типа У=Л+В, в которой Л и В не коррелируют; в данном случае не коррелируют Х\,з и Ь13Хз, а также Х2.з и Ь2з^з (рис. 14.13). Корреляция между Ь13Хз и
Рис. 14.13. Схема причинности для частной корреляции rn.s=r(Xi.s> Хзз).
Ь2зХз равна, конечно, единице. Корреляция между Х1-3 и Х2.з есть та частная корреляция Гх2.3, которую нам надо найти. Итак, Х\ и Х2 соединены двумя путями:
Г\1 ~ Pi (Г12.з) Р2 Pi Рг>
где р — коэффициенты путей, приведенные на рис. 14.13. Поскольку причины Xit а также Х2 не коррелируют,
что и является искомым результатом (60). Частным корреляциям высоких порядков, таким, как г^мь, посвящена работа Ли и др. [409].
Xi — Х1Л -f- Ь^Хз, Х% — Х%'3 -f- bwXs,
Pi
rlZ.?
Производя подстановку, получим
