Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
В ЭКСПЕРИМЕНТЕ С ПРИНУДИТЕЛЬНЫМ ВЫБОРОМ [14]
Как указывалось в главе 6, различные модели порога можно получить, квантуя отношение правдоподобия X (х). Так, в теории высокого порога используется одно значение отношения правдоподобия, в теории низкого порога — два значения.
Можно использовать также большее число значений функции X (х). Ниже рассматривается модель обнаружения сигнала в схеме с принудительным выбором с двумя интервалами возбуждения. В этой схеме используются три значения X.
Пусть сигналы, появляющиеся последовательно в первом и втором интервалах, обозначены Ху и х2. Тогда отношение правдоподобия имеет вид
Х(:гъ .г2)= /(*х. **/«"> (IV.1)
' 1 (Ху, x.Jns) v '
где / (ху, xjsn) — апостериорная плотность вероятности величин Ху, хг при условии, что полезный сигнал s (t) появился в первом интервале, а шум — во втором (sn — «signal—noise»); / (ху, x2/ns)—
апостериорная плотность величин хг, х2 при условии, что полезный сигнал s (t) появился во втором интервале, а в первом интервале был шум п (t) («noise—signal»).
Пусть теперь функция X (xlt х2) определяется следующим образом:
Я. (1 - ^ !
X (.<1, х2) =
Х-х —
•—'
Х-з —
<Wn
= 1
(1-«.)(!-?*)
(1-
(1
¦fnK1 -Чш)
= 1
-?я) 4t
(Zl> 1, XI <1), (Ж!>1, Х2>1), (Xi 1, 1),
(¦г1 < 1 , *2 > !)•
(IV.2)
Из (IV.2) следует, что функция X (хг, х2) может иметь только три значения Л,2 Л,3.
Значение отношения правдоподобия является максимальным. Поэтому если выбрать порог равным Х0 ^> Xlt что соответствует самому строгому критерию испытуемого, то решение о наличии полезного сигнала не будет принято никогда (см. решающее правило (3.7)). Отношение правдоподобия (IV.2) получается, если наблюдения хх и хг в интервалах независимы и плотности вероят: ностей / (хх, x2/sn) и / (xlt x2/ns) определяются следующим образом-
f(.t\, Xojsn) = / (Xi/s) f (х2/п), f(x 1, Xg/res) = / (xjn) f (x2/s), (IV.3)
где
/ (я-Is) =
qs (l<-?<2), ,, , , l Я а (1<ж<2),
1 -qt (0 <*<!), nxln)-\ i_?n (0<*<!).
Сигналы xt и x2 заменяются в интервале (0 ^ х1г x2 2). Условные плотности вероятности / (xlt x2/sn) и / (xx, x2/ns) определяются тогда в четырех квадратных областях плоскости (х17 х2) в соответствии с рис. IV. 1. Функцию X (хи х2) (IV.2) легко получить на основании (IV.3).
За вероятность обнаружения р (S/s) в эксперименте с двумя интервалами стимулирования следует принять величину p (Ri/sn), равную вероятности выбора первого интервала, при условии, что полезный сигнал s содержится в первом интервале. За вероятность ложной тревоги р (S/n) в эксперименте с двойным интервалом следует принять величину р (Ri/ns), равную вероятности выбора первого интервала, когда полезный сигнал s в действительности содержится во втором интервале. Для вычисления вероятности попаданий и вероятности ложной тревоги нужно интегрировать соответственно плотности вероятности / (xlt xjsn) и / (хъ x2/ns) по области X (х1г х2) Х0, определяемой порогом Х,0) использованным
наблюдателем.
Для самого строгого критерия решение о наличии сигнала s в первом интервале и об его отсутствии во втором принимается только в случае, если X (хх, х2) 1. Тогда для вероятности
р (Rl/sn) можно записать
p(Rl/sn) = ^ / (.ci, x2/sn) dxi dx2 (IV.4)
Цхи ж2)>1
или на основании (IV.3)
1 2
р (Rl/sn) = ^ / (хф) / (х2/п) dxx dx2 = qs (1 — qn). (I V.5)
2,0
f/a:txtlsn}= f/x!,xz /sn)=
ffxfa:z /ns)= = is In
ш"-9пН* f (Zf Хг / ns)=
=tnts
ffzr xP /sn)---
-ts(4n)
x. x fns)=
Рис. IV.1. Апостериорные плотности для РХ с тремя уровними квантования
7,0
2.0 i
Для вероятности ложной тревоги на основании (IV.3) можно записать
1 2
р (Rl/ns) = ^ / (хф) / (хг/п) dxx dx2 == (1 — qs) qn. (I V.6)
о 1
Для менее строгого критерия решение о наличии сигнала будет приниматься, если
Х(хъ х2) > 1.
Тогда вероятность р (Ri/sn) равна вероятности попадания случайной точки в плоскости (хх, х2) в один из трех квадратов (рис. IV.1), для которых выполняется условие X (xlt ж2) 1.
Имеем
12 11 р (Ri/sn) = (xi/s) f (x2/n) dxx dxz + ^f fa/s) f (x2/n) dxx dx2 +
0 1
о о
2 2
+ \\f (Xi/s) / (x2/n) dxx dx2.
11
Подставляя значение функции / (xx, xjsri) для этих областей, 182
получим
р (Ri/sn) = qs (1 — qn) + q,qn + (1 — q,) (1 — qn). (IV.7)
Аналогично для вероятности p (R i/ns) можно получить
p (Rl/ns) = qn (1 — qt) + qnqs + (1 — qt) (1 — qn). (IV.8)
Наконец, при очень нестрогом критерии (низком пороге Х0) решение о наличии сигнала принимается, когда отношение X (хг, х2) равно любому значению. При этом вероятность р (Ri/sn) равна единице:
