Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
(II.1), (II.3), получаем следующее решающее правило:
М*)^1, (П.9)
где отношение правдоподобия кс для сложной гипотезы имеет вид
, /ч (1 — ^l) J|’ (0) — Саг (0)] / (37, 0/S) i (0) rf0 /ТТ 4m
с(а:)_ ?i (еа-Сц)/(*/и) • (11Л^
Таким образом, в случае одной сложной гипотезы отношение правдоподобия кс приобретает вид (11.10), в то время как порог А,# = 1.
Нетрудно получить также оптимальное решающее правило, когда гипотеза N также является сложной.
Если цены сп и с22 не зависят от параметров 0, решающее правило (II.9) можно записать в более обычном виде
К и 5^0.
где
(И.И)
' / (х/п) “ <72 (Cl-2 — С22)
Формула (11.11) может использоваться для анализа оптимального детектора огибающей (см. главу 8). В этом случае сигнал s (t) зависит от случайной фазы'
s (t, 0) = A cos (cot — 0),
и плотность z (0) равна
z (0) = 1/2л; (0 < 0 < 2л).
Так как легко заметить, что в нашем случае
/ (х, 0/s) — f [х s (0)/и],
то для получения числителя в (11.11) необходимо предварительно вычислить интеграл 2*
5 / \х — s (0)/n] z (0) dQ.
СЛОЖНЫЕ И МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ [16]
В приложении решающее правило, использующее отношение правдоподобия, распространяется на минимаксный критерий, последовательный анализ, а также на сложные и многоальтернативные гипотезы.
Минимаксный критерий
В некоторых задачах априорные вероятности qx, q2 = 1 — qx состояний hx и h2 неизвестны. В этом случае в бейесовской оптимальной стратегии нельзя определить порог Я0 (3.8) и, следовательно, нельзя получить оптимальное решение. Выход из этого затруднения можно найти, если изменить критерий так, чтобы не
требовалось знания априорной вероятности qx. Это можно сделать, если использовать минимаксный критерий. В соответствии с этим критерием необходимо, чтобы бейесовский средний риск (3.6) был минимален. При этом вероятность q± выбирается из условия максимума R. Таким образом, минимаксный критерий имеет вид
min max R,
где R вначале максимизируется по а затем минимизируется
/7 л? *¦ пй г л п0 °бласти IV Таким образом,
9i ^ ' ?/ наилучшее решение ищется в
Рис. III. 1. Минимаксный критерий наИХуДШбЙ ВОЗМОЖНОЙ Ситуации.
Если бы вероятность ql была известна, то, используя бейесовскую минимальную стратегию, можно было бы получить минимальный средний риск Rmin (q^. График Rmia (?i) имеет вид, показанный на рис. III.1. Если используется бейесовское решение для значения вероятности qt, а в действительности вероятность гипотезы hx равна q\ , то средний риск при принятии решения оказывается равным
R* = <? (Сц + Саа) + (1 — ql )(с22 + с3Р).
При этом вероятности ошибок первого и второго родов а (д^), Р (qj) зависят от значения априорной вероятности qx, использованной в решении. Уравнение R* (ql ) определяет прямую линию, касающуюся кривой минимального бейесовского риска в точке = 91 (Рис. III.1).
Таким образом, если просто использовать бейесовскую стратегию, потери Л* могут быть очень велики (рис. III.1). Величину потерь R* можно уменьшить, если использовать бейесовское решение для значения ql , соответствующее максимальному бейе-совскому риску -Rmax- В этом случае потери не будут превышать Rmin (ql ) (рис. Ш.1).
Рассмотрение минимаксного критерия позволяет установить, что в этом случае также используется решающее правило (3.7) (с последующим определением неизвестной вероятности из условия максимума риска). Дифференцируя средний риск (3.6)7?* по ql , получаем условие максимума
dR*Idql = (еа + саа) — (с22 + <:,$) = 0.
Так как сп + саа и с22 -f срР есть риски, соответствующие гипотезам Нг и Н2, то отсюда можно заключить, что минимаксное решение является бейесовским решением, для которого риски, соответствующие гипотезам, равны.
Последовательный анализ
При применении бейесовского критерия объем наблюдений статистики считается фиксированным. Например, можно считать, что для принятия решения сделано п независимых наблюдений хъ х2, . . ., хп.
Другая возможность состоит в том, чтобы задать вероятности а и Р и построить опыт так, чтобы аир достигались при минимальном среднем числе наблюдений. Эта процедура называется последовательным анализом. Вначале наблюдается хг и на основании решающего правила (3.7) принимается одна из трех альтернатив: если Я* (х) ->- В, принимается гипотеза Нг и испытания прекращаются;
если (х) А, принимается гипотеза Н2 и испытания прекращаются;
если В ¦< (х) ^ А, то делается второе измерение, вычисля-
ется новая функция правдоподобия Х2 (хг, х2) и сравнивается с порогами А и В. После п измерений коэффициент правдоподобия имеет вид
1 \ / (*>’ Г* ¦ ¦ ” Хп/,1ъ) /ТТТ4Ч
