Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Равномерное распределение. Плотность вероятности равномерно распределенного вектора Z (X, Y) в прямоугольнике х ЕЕ (а, Ь), у ЕЕ (с, d) равна
Из (1.49) следует, что случайные величины X и Y независимы. Следовательно, равномерно распределенный в прямоугольнике вектор Z имеет независимые компоненты.
Нормальное распределение двумерного вектора. Вектор Z (X, У) в этом случае имеет плотность
/ (гг, у) = (2яД) ехр X
^ [ Ш (х — mxf — 2kXY (х — тх) (у — ту) +DX (у — пиу)2' X I ^
где Д* = DxDy — kxYl тпх, ту — математические ожидания величин X и Y\ Dx, Dy — дисперсии величин X, Y; кху — корреляционный момент связи величин I и 7.
Из (1.50) следует, что некоррелированные нормальные величины кху = 0 независимы. В этом случае
где Д (х) и /2 (у) — нормальные плотности величин X я У.
Нормальное распределение вектора X. Нормальный вектор X (хъ х2, . . ., хп) имеет плотность вероятности
/(*. У) = (b-aW-c) ’
х ЕЕ (а, Ь), у ЕЕ (с, d).
(1.49)
— 1
(1.50)
/ (х, у) = /х (х)?2 (у),
1
/ (хг, Хг,..., хп) = ((2я)” \k\) 2 ехр х
П
п
(1.51)
Р, я=х
где |fc| — определитель корреляционной матрицы вектора; Кт — алгебраическое дополнение элемента кш в определителе |&|; m (щ, т2, . . тп) — вектор математического ожидания.
Компоненты нормального вектора распределены нормально с параметрами тъ т2, . . ., тп\ Dj, D2, . . ., Dn.
Апостериорные плотности вероятности случайного вектора. Формула Бейеса
Если известно, что в результате опыта случайная величина X приняла значение х, то следует рассмотреть апостериорную (условную) плотность вероятности
/ (у/Х = x)=f {у/х) (1.52)
или, если Y = у,
/ (x/Y = у) = f (х/у). (1.53)
Для апостериорных плотностей вероятности имеют место соотношения
/ (а, У) = f (х/у) • U (у) = / (у/х) ¦ U (х). (1.54)
Случайные величины X и Y называются независимыми, если выполняются условия
/ (х/у) = А (ж), / (у/х) = /2 (у), (1.55)
причем выполнение одного из этих равенств влечет выполнение другого. Из (1.54) и (1.55) следует, что для. независимых случайных величин
/ (*. У) = h (х) к (У)- (1.56)
Для непрерывного случайного вектора можно записать формулу Бейеса, которая в этом случае имеет вид
/ (Х/у) = . (1.57)
jj 1 (УIх) h (*) dx
Моменты непрерывных случайных величин
Если распределение F (х) случайной величины X неизвестно, то для ее описания можно использовать неполные характеристики — моменты случайной величины. Двумя первыми моментами являются математическое ожидание т и дисперсия D случайной величины X. Они определяются следующим образом:
т — \xf (х) dx, D = J (х — т)2 f(x)dx. (1,58)
Из определения (1.58) следуют основные свойства математического ожидания и дисперсии:
М1(а,Х1 + а2Х2) = ахт± + а2т2,
D (fli-X^ -f- а2Х2) = -f- a2D2 "h 2k12,
где аъ а2 — произвольные постоянные; тх, т2 — математические ожидания случайных величин Хг и Х2; Dx, D2 — дисперсии величин Хх, Х2; кп — корреляционный момент связи величин Хь Х2.
Двумерный случайный вектор Z (X, У) характеризуется шестью моментами первого и второго порядков: двумя моментами первого порядка (математические ожидания компонент)
М (X) = mv\ М (У) = гпу
и четырьмя моментами второго порядка, составляющими корреляционную матрицу к вектора Z:
Jc - ^xv I
fr Г) I
Лху L-’y I
Случайный вектор X (хг, х2, . . ., хп) характеризуется п2 + п моментами первого и второго порядков: вектором математических ожиданий
m (тпх, тп2, . . ., mn), mn = М (хп), и корреляционной матрицей к (п X п) вектора X
к — I ktj ||,
где ktj — корреляционный момент связи величин Хг и Х;-. Функции случайных величин
Случайные величины X и У могут быть связаны между собой функциональной зависимостью
У = ф (X), (1.59)
где ф (X) — заданная неслучайная функция.
Тогда, если / (х) и g (у) — плотности вероятности величин X и У, то вероятности попадания величин X и У в бесконечно малые интервалы (х, х + Д.т), (у, у + Ау) равны:
р (х ^ X ^ х + Ах) = / (х) dx,
р (у < У < у + Ay) = g (у) dy. (1.60)
Так как между X и У существует функциональная связь, то ве-
роятности должны быть равны
/ (х) dx = g (у) dy. (1.61)
Соотношение (1.61) использовалось в главе 5.
Стационарные случайные процессы
Случайный процесс X (t) можно определить как случайную величину, зависящую от параметра t. Наблюдаемыми в опыте «значениями» случайной функции X (() являются функции време-
ни х (t). Они называются выборочными функциями или реализациями процесса X (t).
