Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
В книге используются стационарные процессы частного вида: белый шум с неограниченной полосой частот и белый шум в полосе частот (— (i)c, <i)c).
Корреляционная функция белого шума с неограниченной полосой частот есть 6-функция Дирака
к( х) ^2- 6 (т), (1.76)
где N0/2 — спектральная плотность шума.
Дисперсия белого шума с неограниченной полосой частот, как показывает формула (1.75), бесконечно велика. Белый шум в полосе частот (—(ос, (ос), (ос = 2я/с, имеет спектральную плотность
Ф (со) = No/2, о е (—©с. «с). Ф (®) =0, ю ф (— 0)с, (0С).
(1.77)
Корреляционная функция в соответствии с (1.71) равна м sin cot sin2nwr
*<*)=-?-•—(L78> где D = N0wc — дисперсия шума.
ВЫВОД БЕЙЕСОВСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО ПРАВИЛА [6]
В приложении дается вывод бейесовского оптимального решающего правила (3.7) и полученный результат распространяется на сложные гипотезы.
Согласно критерию требуется, чтобы средний риск R (3.6) был минимален.
Рассмотрим, к какому оптимальному правилу приведет это требование. Вначале следует выяснить, в зависимости от какой величины следует искать минимум R. Для этого можно воспользоваться выражениями вероятностей аи^ (2.2), (2.3) и представить средний риск R в виде
R = QiCu + ^22 + qiCx § / (ar/fej) dx + q^cр § / (x/h2) dx. (II.l)
r2 rt
Учитывая условие нормировки
^ / (x/hi) dx -f- ^ / (x/hi) dx = ^ / (x/hi) dx = 1, (П.2)
г, г2 г
средний риск можно представить в виде
R = QiCn + q2Cw+qiC*+ S [?аСр/ (x/h2) — qxcj (x/hi)] dx. (II.3)
Г,
Из (11.3) можно заметить, что единственной величиной, подлежащей выбору, является область Гх. Все остальные данные заданы условиями задачи. Следовательно, минимум среднего риска достигается выбором области Гх. Можно записать для минимального бейесовского риска
•Rmin = min-R. (П.4)
г,
Из (II.3) можно сразу получить оптимальное бейесово правило. Так как член вне интеграла не зависит от выбора Г1Э то он не влияет на отыскание минимума. Интеграл достигает минимума, когда подынтегральное выражение отрицательно. Так как все величины и функции положительны, то для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство
qtcj (x/hj) > q2caf (xlh2). (II.5)
Таким образом, область 1\ в /sT-мерном пространстве определяется условием
X (х) < К0, (II.6)
где
К (х) = ~ —• отношение правдоподобия;
Область Г2 определяется условием А, (х) > К0,
(П.8)
в чем можно убедиться, если воспользоваться условием нормировки (II.2), выразить иэ него ^ ...da: и подставить его в выраже-
г.
ние для R. Таким образом, бейесовское оптимальное правило совпадает с ранее введенным решающим правилом: оно также приводит к сравнению отношения правдоподобия К (х) с порогом.
Часто случается, что одна или обе функции / (x/s) и / (х/п) зависят от некоторых параметров 01( 02, . . ., 0„, значения которых не известны экспериментатору. Например, плотность вероятности
/ (x/s) = (2jtD)_ Т exp [— (х j ,
в которой математическое ожидание m или дисперсия D не известны, может служить примером такой функции. Задача отыскания оптимальной стратегии в этом случае, естественно, усложняется. Однако, как показано ниже, она также сводится к правилу отношения правдоподобия, хотя и более сложному.
Далее рассматривается случай, когда функция / (x/s) зависит от т параметров 0 (0*, 02, . . ., 0т), а функция / (х/п) от 0не зависит. В этом случае гипотеза N называется простой, а гипотеза S — сложной. Если параметры вг, 02, . . ., 0т рассматриваются как случайные величины, то считается заданной совместная условная плотность вероятности / (х, 0lt 02, . . ., 6m/s) = / (х, в/s). В общем случае считаются известными апостериорные плотности / (х/п), / (х, 0/s), априорные вероятности появления сигнала qx, q2 и цены за правильные и неправильные решения.
Вся эта исходная информация является такой же, как при решении бейесовской задачи. Дополнительно считается известной совместная плотность вероятности параметров 0: % (0) = % (01,
• • •! 0m)-
Средний бейесовский риск запишется в этом случае в виде
R* = qx Гец § / (х/п) dx -f- с21 ^ / (х/п) dx 1 +
L г, г, J
+ q% Г \ dx ^ Сц (0) / (а-’, О/s) ъ (0) d0 + § dx § с22 (0) / (х, в/s) z (0) dQ],
Lr. Г*
где dQ =-- d0l7 d02, . . d0m.
В первых квадратных скобках содержится величина риска, связанного с гипотезой Нх. Во вторых квадратных скобках содержится величина риска, связанного с гипотезой Н2. Таким образом, средний бейесовский риск для сложной гипотезы получается дополнительным осреднением с плотностью z (0).
Для того чтобы минимизировать риск R*, необходимо так же, как в случае (3.6), выбрать области Гх и Г2. Действуя аналогично
