Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
р (Ri/sn) = qt (1 — qn) + qsqn + (1 — qs)( 1 — qn) +
+ (1 - чМп = 1, (IV.9)
p (Ri/ns) = qn( 1 — qs) + qsqn + (1 — ?s)(l — qn) +
+ (1 — Чп)Чв = 1-Вероятности p (Ri/sn) и p (Ri/ns) в этом случае равны единице, так как попадание случайной точки в область (0 ^ xlt х2 2) — достоверное событие.
Значения р (Ri/sn) = 1 и р (Ri/ns) = 1 соответствуют крайней правой точке РХ с координатами (1.1).
До сих пор различным решениям не приписывались некоторые цены. Это можно легко сделать, если считать, что решение при каждом значении отношения правдоподобия принимается с некоторой вероятностью. Так, например, если X (х1; х2) > 1, то можно считать, что решение принимается с вероятностью, равной а. Тогда вместо (IV.5) и (IV.6) следует записать
р (Ri/sn) = aqs (1 — qn), (IV.10)
р (Ri/ns) = aqn(i — qs). (IV.ll)
Аналогично можно считать, что решение о /?1 принимается с вероятностью, равной единице, если X (хх, х2) 1, либо с вероят-
ностью, равной V, при условии X (хх, х2) = 1, и не принимается, если X (xlt х2) < 1. Тогда вместо (IV.7) и (IV.8) следует записать
р (Ri/sn) = qs (1 — qn) + vqsqn + v (1 — qs) (1 — qn), (IV.12)
p (Ri/ns) =qn( 1 — qs) + vqsqn + v (1 — qs) (1 — qn). (IV.13)
Наконец, если решение о /?1 принимается с вероятностью, равной единице, при условии X (х1} х2) > 1, и с вероятностью, равной и, при условии X (х1, х2) <; 1, то вместо (IV.9) следует записать
р (Ri/sn) = qs (1 — qn) + qsqn + (1 — qt) (1 — qn) + и (1 — qt) qn,
(IV.14)
p (Ri/ns) = qn( 1 — q,) + q,qn + (1 — q,) (1 — qn) + и (1 — qn) qt.
(IV, 15)
Веса (смещения) a, u, v есть условные вероятности выбора при заданных значениях отношения правдоподобия. Эти веса изменяют
реакцию наблюдателя независимо от сигнала ххл% и связаны с механизмом принятия решения.
На рис. 6.10 изображена РХ для эксперимента с принудительным выбором в двух интервалах. Она состоит из трех отрезков. Короткий отрезок в начале координат соответствует X (хъ х2) 1,
т. е. самому строгому критерию. Затем от точки с координатами (?в (1 — Яп)у Яп (1 — Я$)) начинается второй участок с наклоном X (х1, х2) = 1. Этот участок занимает большую часть РХ и продолжается до точки с координатами (1 — qn + qsqn, 1 — qB + + gsg„). Эта часть РХ соответствует умеренному критерию наблюдателя. И наконец, последний участок РХ в правом верхнем углу соответствует минимальному порогу X, т. е. наименее жесткому критерию наблюдателя.
При значении параметра, равном
У = ^. + (1-д,)(1_дп),
Jn4s
согласно (IV.11) и (IV.12) имеем р (Rl/sn) = qs, р (Rl/ns) = qn.
Отсюда можно заключить, что РХ для эксперимента типа «да—нет» лежит ниже, чем РХ в эксперименте с принудительным выбором (см. рис. 6.10). Это значит, что в эксперименте с двойным интервалом мы получаем в среднем больший процент правильных ответов. При построении РХ в схеме с двойным интервалом выясняется важное свойство РХ процесса решения. Именно в случае двойного интервала следует говорить уже о плоскости хххг, а для эксперимента с т интервалами — о m-мерном пространстве.
Таким образом, размерность пространства сигнала ххх2 может быть значительно больше единицы. При этом чувствительность определяется границей m-мерного пространства хи х2, . . хт. Однако РХ процесса решения при этом остается одномерной. Это очень важное свойство РХ аналогично свойству шкалы X (хх, х2, . . ., хп), которая остается одномерной для любой размерности пространства хх, жа, . . ., хп.
ПРИЛОЖЕНИЕ V ДЕТЕКТОР ОГИБАЮЩЕЙ [14]
В приложении решается задача обнаружения полезного сигнала
s (t) = A sin (2n/,f — 0) (*)
в наблюдаемом сигнале х (t) = s (*) + п (t),
где шум п (t) — гауссовский процесс с постоянной спектральной плотностью (белый шум).
Фаза 0 предполагается случайной и имеет равномерное распределение с плотностью
*(0)=-ST’ °<0<2я-
Обнаружение сигнала s (?) осуществляется «детектором огибающей». Ниже определяются отношение правдоподобия X (xt) огибающей х, и апостериорные плотности / (xt/s) и / (xjn) огибающей.
Итак, вначале нужно проверить гипотезу о наличии s (t) в сигнале вида
х (t) = s (t) + п (t), где п (t) — случайная функция.
Относительно п (t) удобно предположить, что она представима рядом Фурье
n(t) = ^(akcos^-t 4- fefcSin-^ t^j , (V.l)
где ak, bh — гауссовские независимые случайные величины, М (аи) = М (М = 0.
Используя разложение п (t) в ряд Фурье, получаем 1
Т wT
м [4- ^ (о dt]=4- Z[М +м {ЬкП •
0 Лг=1
С другой стороны, имеем
т т
М 5 п2 ^ = ~Т ^ ^ dt = v = N0w, (V.2)
