Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 72

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 95 >> Следующая

о о
где w = V3 ширины полосы частот шумя; NJ2 — спектральная плотность шума.
Далее, считая, что средняя энергия шума распределена равномерно между гармониками, получаем М (ак)2 =¦ М (bh)2 = D и на основании двух предыдущих выражений имеем wTD = N0w или D = NJT.
Условные плотности вероятности коэффициентов аbh име* ют вид
/ (e*/n) *= (2nD)-4* ехр (— ~) ,
/(аф) = (2яБ)-Ч*ехр[ — ¦ ^ ], (V.3)
1 Число гармоник разложения равно n = wT, так как наивысшая частота w равна п/Т.
где а/, — коэффициент Фурье разложения полезного сигнала s (*).
На основании (V.1) для апостериорных плотностей вероятности можно записать
ОО
f(x/n)= П f (ак/п) f (h/ri), fc=l
1 р5 00
/(*/*) “St \ П / («*/») / [(a,- a,)/n] fih/n) f[ (bt-p,)/n] Й0, (V.4)
0
где a,, определяются в соответствии с формулой (*)
ц2 I R2 д2 ^2
аг = Acos0, р,= Asin6,-' ^ =±- = -±-ш (V.5)
Апостериорная плотность / (x/s) получается в соответствии с правилом вычисления отношения правдоподобия для сложных гипотез. Как показано в Приложении I, в этом случае требуется дополнительное осреднение плотности / (х — s (0)//г) по параметру 6-
На основании (V.3) и (V.4) для отношения правдоподобия можно записать
1 р* Га.а,-ЬЬ.р.Т /а? + Р?\
* W = -Ш \ ехр l~^D-----Jexp - ( 2D /
О
Произведя возможные упрощения, получим
Х w = W 5 ехр [rtDb‘Pt] ехР - (ш) dQ- (V-6)
О
Коэффициенты Фурье а, и Ь, шума можно выразить через огибающую х, колебания частоты
a, cos 2лftt 4- bt sin 2nftt = x, cos (2я/г? — у), где a; = x, cos у; = x( sin y.
Тогда
а,аг-(-bjP; = Ax;Cos (0 — у). (V.7)
Величина хг является огибающей на частоте полезного сигнала. Окончательно X (х) принимает вид
Если ввести модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка
Как следует из (V.8), отношение правдоподобия зависит только от огибающей х1 гармоники на частоте сигнала.
Так как функция Бесселя нулевого порядка /0 (х) — монотонно возрастающая функция х, то отношение правдоподобия X (xt) также является монотонной функцией я,. Если говорить об оптимальном обнаружении сигнала с неизвестной фазой 0, то результат, полученный в (V.8), легко понять. Оптимальная процедура состоит в данном случае в измерении амплитуды огибающей х1 на частоте сигнала. Эта амплитуда не зависит от разности фаз между гармониками сигнала и шума.
Рассмотрим теперь следующую задачу: нужно найти апостериорные плотности / (xjn) и / (xjs).
Согласно определению, когда присутствует один шум xf = = а\ + bf, квадрат нормированной нормальной случайной величины имеет -распределение с одной степенью свободы. Следовательно, х? имеет ^-распределение с двумя степенями свободы:
Переходя к плотности вероятности величины xlt окончательно можно записать (Приложение I)
Последнее выражение известно как распределение Релея.
Для определения апостериорной плотности / (xjs) следует опять воспользоваться правилом вычисления отношения правдоподобия для сложных гипотез (Приложение II).
Когда к сигналу s (t) добавляется шум, то значение огибающей xt зависит от разности фаз между гармониками сигнала и шума. Принимая фазу у = 0, можно получить в соответствии с Приложением II следующееТвыражение для апостериорной плотности:
Прямое интегрирование здесь невозможно. Поэтому обычно используются приближения.
о
то X (х) принимает вид
(V.8)
= ~2~ еХР
/№) = ^ехр [-------¦
(V.9)
/ (*,/>) = ^ / [(Sj — A cos в)/п ] dQ.
О
Пользуясь определением отношения правдоподобия, можно записать
/ (x/s) = К (х) / (х/п) или, когда существенна лишь огибающая,
/ (Zf/S) = A, (xi)f (Xi/n).
Пользуясь этим выражением, можно вычислить апостериорную плотность / (x/s) из соотношений (V.8), (V.9). Учитывая, что Es = = А2Т/2 и tf2 = Nп/Т (N0/2 — значение спектральной плотности шума), можно окончательно записать
х.Т /х,АТ\ Г /А2 + х?\ т~
/ (X^S) = 1V7 7° \~Ж~) 6ХР [-(—Г”)^J- (УЛ0)
Для больших значений амплитуды А плотность вероятности, величины хг приближается к нормальной. Действительно, для х 1 /0 (х) ^ еж (2яа0~'|г, следовательно, если AT7 АГ0, то
/ (*i/*) = (-х) 2 (2ла2)- Техр [- (^-^)2] • (V.11)
Следовательно, эта кривая для хг, близких к А и А а, имеет нормальное распределение с параметрами N (А, а).
На рис. 8.4 показаны функции / (xt/s) и РХ для различных значений А и узкополосного гауссовского шума. Плотности / (x,/s) зависят от отношения амплитуды сигнала к среднеквадратичному значению шума. Значению А = 0 соответствует сигнал, состоящий из одного шума.
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
АПОСТЕРИОРНЫЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ДЕТЕКТОРА [14]
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed