Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
кЛ'иj*.......*2,. :.>>,) ¦ (П1Л>
Затем используется следующее решающее правило: если Хп < В, выбирается гипотеза Нг\ если Хп А, выбирается гипотеза II2; если В <; Х„ <.А, делается п + 1 измерение.
Пороги А и В выбираются из условий заданных вероятностей а и р. Можно показать (Вальд), что А и В подчиняются следующим
неравенствам:
А < (1 — §)/а, В > р/(1 - а).
Последовательный анализ для достижения заданных значений а и Р иногда позволяет выполнить меньшее число опытов по сравнению с числом опытов при фиксированной выборке. Из описания последовательного решения видно, что на каждом шаге для принятия решения также используется решающее правило (3.7).
До сих пор рассматривались простые гипотезы. Важно знать, сохранится ли правило отношения правдоподобия в случае сложных гипотез? Оказывается, для сложных гипотез правило отношения правдоподобия также имеет место. Сложные гипотезы являются утверждениями типа hx ЕЕ или h2 ЕЕ ?22, где fij и Й2 — некоторые множества состояний природы. Как уже указывалось, в этом случае утверждения не содержат точного перечня всех состояний, так как они определяются условиями hx Е: или h% ?Е
ЕЙ8. Следовательно, должны быть заданы = р (hx Qj) и
?S = 1 — ?!¦
Оказывается, оптимальное решающее правило бейесовской стратегии совпадет с правилом (3.7), но апостериорные плотности вероятности / (x/hj, / (хИи) следует заменить апостериорными плотностями вероятности / (x/Qj), / (x/ft2). Бейесовская стратегия в случае проверки тп-альтернативпой гипотезы также при некоторых ограничениях приводит к правилу отношения правдоподобия.
Пусть имеется m-альтернативная гипотеза. Тогда область Г состоит из т непересекающихся областей
ТП
Г = s г*.
К=1
Бейесовское оптимальное правило дает возможность определить такую область Гг, что если X ее Г,, то принимается
Пусть ctj — есть цена за неправильное решение i, когда природа находится в состоянии j.
Если повторить рассуждения для двух гипотез, касающиеся минимизации среднего риска, то можно прийти к следующему решающему правилу. Решение делается в пользу Ht, если неравенство
т т
2 4fiif^lHj)<i s 4fi fSx!Hi)
i-l i~i
сохраняется для любого I Ф j.
На основании формулы Бейеса неравенство (III.2) равносильно неравенству
m тп
^c^fiHj/x), (Ш.З)
1 1
(HI--)
Из (III.3) следует, что гипотеза Н{ принимается в том случае, когда средний условный риск
ТП
2 ciif (ILi/x)’
3=1
связанный с принятием гипотезы Ht, оказывается меньше, чем средний условный риск
ТП
S ciif (HjIх)'
3=1
связанный с принятием любой другой гипотезы Ни отличной от Ht. Таким образом, здесь обобщается правило минимума среднего условного риска, установленное для двух гипотез.
Рассмотрим частный случай, когда цены выбираются следующим образом:
__ Г0’
Cy=ll, i Ф Ь Тогда неравенство (III.3) заменяется неравенством
/(ВД>/№)
или
qJWHj)
которое должно выполняться для всех IФ /. Следовательно, в случае иг-альтернатив делается решение в пользу гипотезы Hi, если
qj (x/Hi) = max qtf (x/ht), (Z = 1,2,..., m).
i
В случае одинаковых цен са = ер, применяя формулу Бейеса, можно получить
9jf (xlhj) _ f(hj/x) gtf (x/hj) ~~ / (htlx)
Таким образом, решение принимается в пользу гипотезы, имеющей большую апостериорную вероятность. При этом в случае одинаковых цен бейесовская стратегия совпадает со стратегией отношения правдоподобия.
Окончательно мы приходим к следующему важному выводу. В теории принятия решений существует универсальное правило для принятия решения. Это — правило сравнения отношения правдоподобия А, (х) с порогом. Правило охватывает все рассмотренные оптимальные стратегии для проверки простых и сложных гипотез. Различие между этими случаями определяется лишь выбором порогов к0 в зависимости от принятого критерия.
Как было показано в главе 1, правило отношений правдоподобия эквивалентно пороговому различению апостериорных вероятностей. Посмотрим, как изменяется это правило, когда наблюдатель учитывает цены за решения. Переходя от апостериорных вероятностей / (x/fiy), / (x/h2) к апостериорным вероятностям состояний / (hjx) и / (h2/x), по формуле Бейеса получим
, ?-2/ (hvjx) ^ glcsc
^ > </,/ (hy/x) ^ </.,Ср
Из последнего выражения можно заметить, что в случае q± = q2 бейесовская стратегия (3.7) предписывает пороговое сравнение апостериорных вероятностей
/(ад^-^/(вд.
причем порогом является отношение са/ср относительных цен. Для са ср просто принимается наиболее вероятная гипотеза, т. е. получается основное правило, с которого мы начали изучение теории.
Если са Ф Ср и дх Ф q2, то происходит некоторое смещение, в результате чего порог для апостериорных вероятностей / (hjx) и / (h2/x) оказывается отличным от единицы.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
РАБОЧАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
