Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф(х) = (2п)~Т J e~Y dt. (1.30)
— оо
Используя (1.30), функцию F (х) можно представить в виде
*’(*) = Ф(?^'\. (1.31)
Наряду с функцией Лапласа для вычисления вероятности попадания р (S/s) и вероятности ложной тревоги используется функция
1 оо f2
erfc х — (2л) 2 ^ е 2 dt. (1-32)
X
Функция erfc х определяет вероятность попадания X в полубеско-нечный отрезок
р (х X <; оо) = erfc х.
Из (1.30) и (1.32) следует, что между функциями Ф (х) и erfc х существуют соотношения
Ф (х) + erfc х = 1, erfc х = Ф (— х). (1.33)
Распределение Реле я. Плотность вероятности величины X в этом случае имеет вид
/ (х) — 2h?xe-h’x', х 0, (1-34)
/ (х) = 0, х < 0.
Релеевскую плотность имеет огибающая детектора при условии действия на его вход одного шума (см. главу 8).
Центрированное %2-распределение. ^-распределение имеет случайная величина X2, равная сумме квадратов нормальных случайных величин X:'.
X! _n _
р (X2 < г*) = р (X» = [2П,2Г (п/2)]-1$ г2 в 2 Л, (1.36)
о
где Г — есть гамма-функция; п — число степеней свободы.
Среднее значение и дисперсия %2-распределения с п степенями свободы равны
М (%2/п) = п, D (%2/п) = 2п. (1-37)
^-распределение получается при анализе энергетического детектора (см. главу 10). Ввиду того, что число степеней свободы п обычно достаточно велико, плотность вероятности величины X2 приближается к нормальной.
Нецентрированное %2-распределение. Интегральный закон F (х')* в этом случае имеет вид
__х (1У
Р ((x')2/n. А.) = 2j6 2 ^2-—p{(x'f/n+ 2/), (1.38)
j
где (%’У — нецентрированная случайная величина; п — число степеней свободы; X — параметр распределения.
Как следует из (1.38), нецентрированное (х')2-Распределение является суммой центрированных ^-распределений с весами
e~TjW
/
Весами являются распределения Пуассона с математическим ожиданием Х/2.
Нецентрированное ^-распределение имеет случайная величина
Y = n^xi + (xn + Vxf, (1.39)
i=l
где хг — независимые нормальные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями, равными М (xt) = 0, D (xt) = 1; X — некоторый параметр.
Среднее значение и дисперсия (%')2-распредвления равны
М (хТ = п + Х, D (х')2 = 2п + АХ. (1.40)
Нецентрированное (х')2-распределение использовалось в главе 9 для анализа энергетического детектора.
Случайные векторы
Двумерный случайный вектор z (X, Y) определяет положение случайной точки на плоскости. Исчерпывающими вероятностными характеристиками вектора ъ являются функция распределения F (,х, у) и плотность вероятности / (х, у). Функция распределения
F (x, у) равна вероятности /Х<*\
F(®, ,y) = p^F^J. (L41)
На основании (1.41) можно установить основные свойства функции
0^F(x, у)< 1,
F(— оо, у) = F (х, — оо) = F (— оо, — оо) = О,
F(x, oo) = F1{x), F(oo, y) = F,(y), F (оо,- оо) = 1, (1.42)
где (ж) — функция распределения величины X', F2 (у) — функция распределения величины Y.
Для непрерывного случайного вектора функция F (х, у) непрерывна и существует плотность
/<*.»>--тйг-' (М)
Плотность вероятности / (х, у) может быть также определена как вероятность события
|р (Х<х <х + Ах\
1 (*, у) = ИJ • (L44^
Из определения плотности / (ж, у) (1.44) следуют основные ее свойства
f(x, г/)>0, §/(ж, y)dxdy = 1. (1.45)
Зная плотность вероятности / (я, г/), можно получить плотности вероятности его компонент:
Л (Ж) = § />, y)'<fy, /2 (у)’= 5 / (ж> 2/)(1-46)
а также можно вычислить вероятность попадания случайной точки Z (X, Y) в область В плоскости
P(z е В) = / (ж, y)’da: dy. (1.47)
В частности, интегральный закон распределения F (х, г/) равен вероятности попадания точки Z (X, Y) в бесконечный квадрант
X у
/(*> у)= 5 § f(u,v)dudv. (1.48)
— ос —ос
Аналогично двумерному случайному вектору Z (X, У) рассматривается многомерный вектор X (Х1( Х2, . . ., Хп). Исчерпываю-
щими характеристиками вектора X являются функция распределения
F (хи х2, . . хп)
и плотность вероятности / (хг, х2, . . ., хп).
Все определения и свойства функции распределения F (х, у) и плотности вероятности / (х, у) двумерного вектора распространяются на функцию распределения и плотность вероятности вектора X (*!, Хг, . . ., Хп).
Функции распределения случайного вектора
