Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Р (Sis) = 1 - erfc + erfc ’
p{S{n) = erfc-^- — erfc-^- (ui = x[~s, w2 = ?2—s).
П П
Следовательно, должны иметь место уравнения
р {S/s) = plt р (S/n) = а0.
Для определения порога In из этих условий следует найти и\ и и*, пользуясь (11.14), и затем подставить и* (или и*) в (11.13). Тогда порог In к0 будет равен
In Я0 = In [Я (ы*)] = Л0 (s, As).
Порог In Я0 является функцией s и As. Если подчинить эту функцию условию инвариантности
Л0 (s, As) = const, то получится неявное уравнение, связывающее s и As. Важным примером уравнения такого типа является линейная зависимость в законе Вебера (см. § 2 главы 7). При выполнении условия инвариантности порог Л0 (s, As) не зависит от s и As и, следовательно, его можно использовать как единицу ощущения (см. (11.11)).
Однако в явном виде определить функцию Л0 (s, As) не удается. Поэтому для решения задачи можно использовать различные приближения. Так, например, можно получить приближенное решение, положив
и\ = а^п и и* = а2(тп,
где alt а2 — некоторые постоянные.
Далее, предполагая As достаточно малым, можно получить
as = ст (s) -|- yAs = ап + yAs.
Тогда, в соответствии со вторым уравнением (11.14), вероятность а0 не будет зависеть от s и As. Также легко проверить, что вероятность попадания р (S/s) согласно первому уравнению (11.14) не будет зависеть от s и As, если выполняется условие As/s = const. Таким образом, полученная ранее функция вида (11.15) имеет универсальное значение.
На этом заканчивается построение порога In Я0, инвариантного к изменению s, для случая немонотонной функции к (и).
Приведенные выше выражения для их и и2 являются условиями независимости порога In Я0 от стимула s. Легко видеть, что эти условия тождественны условию (11.10), полученному для монотонной функции к (х). Однако порог In Я0 в (11.13а) отличается от соответствующего порога (11.6) для монотонной функции к (и).
Если считать величину As1/o достаточно малой, то, разложив функцию в ряд Тейлора в окрестности точки Asja = 0, можно получить выражение вида (11.11). В частности, такое предположение, по-видимому, оправдано в отношении зрения и слуха, для которых дробь Вебера Asja имеет минимальное значение.
Как увидим дальше, метод построения шкалы отношения правдоподобия, в котором используется порог Я0, является универсальным: позволяет получить все известные в настоящее время шкалы. В частности, в следующем параграфе строится логарифмическая шкала, а затем степенная шкала.
Для теоретического построения сенсорного пространства Фех-нер решил воспользоваться законом Вебера. Чтобы это сделать, нужно было выбрать единицу для измерения ощущений. Фехнеру пришла интересная мысль: принять величину ощущения пропорциональной относительному приращению стимула
М = к-^~. (11-15)
Основанием для такого выбора явился, конечно, закон Вебера, который утверждает, что относительное приращение стимула, обнаруживаемое с одинаковой вероятностью, есть постоянная величина. Далее Фехнер [12] сделал следующий шаг, записав
dl = k~. (11.16)
В. последнем равенстве делается предположение, что закон (11.15) остается справедливым для бесконечно малого приращения ощущения.
Переход от (11.15) к дифференциальной форме (11.16), приводящий к закону Фехнера, наиболее труден для понимания. Действительно, в (11.16) предполагается, что дифференциал ds изменяется независимо от значений переменной величины s. Однако согласно закону Вебера это не так. Дифференциальный порог As в (11.15) является функцией s. С другой стороны, дифференциал dl в левой части уравнения (11.16) может быть бесконечно малой величиной, в то время как правая часть уравнения (11.16) согласно закону Вебера не только не является бесконечно малой величиной, но даже возрастает при малых значениях.
Все это показывает, что соотношение (11.15) не является обычным дифференциальным уравнением. Тем не менее Фехнер предположил, что (11.16) есть обычное дифференциальное уравнение первого порядка.
Интегрируя дифференциальное уравнение (11.6), получим
I = /0 + к In s.
Постоянная /0 определяется из условия отсутствия ощущения (1 — 0), когда значение стимула равно величине абсолютного порога s = s0. Используя это условие, получаем
/0 + к In s0 = 0 или /0 = — к In s0.
Подставляя найденное /0 в выражение I, получаем I = k ln-^-. (11.17)
Это и есть окончательное выражение закона Фехнера: величина ощущения пропорциональна логарифму раздражителя (стимула).
Основу закона Фехнера составляет шкала едва заметных различий е. з. р.1
Едва заметным различием называется относительное ирираще-гге A s/s сигнала s, обнаруживаемое с вероятностью 0,5 или 0,75.’Относительная величина A s/s в соответствии с законом Вебера остается постоянной в пределах всей шкалы значений s. Таким образом, за единицу измерения ощущения принимается величина е. з. р.
