Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рп (т) = СпРт (1 — р)п~т. (1.3)
Распределение (1.3) называется биномиальным распределением.
Распределение Пуассона. Случайная величина хг может принимать только целые значения 0, 1, 2, ..., т. Вероятность того, что X = т, для распределения Пуассона равна
л m
ех (»»= 0,1,2,...). (1.4)
Распределению Пуассона подчиняется, например, случайное число телефонных вызовов в заданном интервале времени. При этом X в (1.4) означает число вызовов в единицу времени.
Двумерные дискретные величины
Если имеется конечное или счетное число пар г/х), (хг, у2),...
. . ., (хп, уп), которые дискретная величина может принимать в опыте, то говорят, что задана двумерная случайная величина (X, Y). Двумерная величина (X, Y) определяет положение случайной точки на плоскости. Двумерная величина полностью характеризуется заданием вероятностей!
Р (X =jcit Y = у}) = р (хи у,) = pi} (1.5)
различных значений случайной величины (X,Y). Вероятности ptj удовлетворяют условиям]
Рц> 0, 2 Pii = 1- (L6)
i, 5=1
Зная вероятности рц, можно вычислить вероятность того, что случайная величина (X, Y) принадлежит множеству чисел М:
р((Х,У)еМ)= 23 Рц. (1.7)
yjS.M
Так как числа рц являются исчерпывающей характеристикой двумерной случайной величины, то на основании ptj можно получить вероятности величин X и F:j
Pi = Рц, Pj = 23W
j if
Помимо вероятностей ptj для двумерной случайной величины определяются условные вероятности
р(Х = Xi/Y = yj) = рц!Pi = p(i/j),
p (Y = У)/х = *0 = PalPi = p (/70. (L8)
равные соответственно вероятности значения X = xt при условии Y = у] или вероятности значения Y = у}- при условии X = х-,. Условные вероятности удовлетворяют соотношениям
Р (»'//') >°. 2jP(i//') = l- (1-9)
i
УсловныеТвероятности позволяют вычислить условную вероятность попадания точки Y в Мг:
P(7eAf!/x = ii);= 3 pH/1)
Vj<=M2
ИЛИ
piXtEMyfY = у,)= S Р (///). (1.10)
i
Подобные выражения использовались в главе 1 для подсчета вероятности ложной тревоги и вероятности попаданий. Случайные величины X и Y называются статистически независимыми, если
Piis=tPi-Pi (Г-И)
или, что равносильно,
рХ*/т) =!р» Р'.а/1)'=‘Рг (1-12)
Функция распределения двумерных^дискрстных величин
Равномерное распределение. Пусть случайная величина (X, Y) принимает множество значений {.гг, у,} (i = 1, 2, . . ., щ / = = 1, 2, . . ., т). Тогда (X, Y) распределено равномерно, если
ри = 1/т.п. (1-13)
Из (1.13) следует, что величины X и Y независимы и распределены равномерно]
pt = 1 /п = const, pj = i/m = const.
Полиномиальное распределение. Пусть имеется два несовместных события Ах и А2, вероятности которых при отдельном испытании равны соответственно рх и р2. Если произведено т взаимно независимых испытаний, то вероятность того, что первое событие Ах наступит щ раз, а второе пг раз, равна
Рш{пип,) = ^~гРТР7. (1.14)
Распределение (1.14) называется полиномиальным.
Моменты дискретных величин
Часто для описания случайных величин используются неполные характеристики. Такими характеристиками могут быть математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание и дисперсия являются моментами первого и второго порядков.
Математическое ожидание случайной величины равно
пг = М(Х)= Pi- (1-15)
i=i
Дисперсия случайной величины X равна
m
D = а2 = 2 (xi — m f ph (1-16)
i=l
где а — среднее квадратичное значение случайной величины X.
Основные свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины X определяются следующими соотношениями:
М + а2Х21 = а1т1 + а2т2, (1-17)
где ах и а2 — произвольные постоянные; ти т2 — математические ожидания величин Хх и Х2;
D (fliXi -(- а2Х^ = а\Т> (Xj) -(- (Х2) 2о,1а2к12, (1.18)
где D (Х^, D (Х2) — дисперсии величин Х1; Х2; к12 = М (Хх— — т)(Х2 — т) — корреляционный момент связи величин Xlt Х2. Если величины Xi и Х2 некоррелированы, то к12 = 0 и дисперсия суммы (1.18) принимает вид
D КХ, + а2Х2) = a?D (XJ + ajD (Х2). (1.19)
Двумерная случайная величина (X, Y) характеризуется следующими шестью моментами первого и второго порядков: двумя моментами первого порядка
М (X) = т1, М (У) = т2
и четырьмя моментами второго порядка, составляющими корреляционную матрицу,
