Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Шкала отношения правдоподобия
Рассмотрим построение сенсорного пространства на основании функции отношения правдоподобия. Чтобы построить шкалу для случая, когда ощущаемые объекты заданы в пространстве стимулов (физический континуум) [22], следует предварительно рассмотреть задачу обнаружения приращения As сигнала s на фоне собственного шума нейронной системы. В этом случае «системой проверяются» следующие две гипотезы:
t — s+As + и — гипотеза S, х = s -f п — гипотеза N.
Пусть для решения этой задачи используется функция отношения правдоподобия’
зависящая от наблюдаемого сигнала х, полезного сигнала s, приращения полезного сигнала As и среднеквадратичного значения
о (s) собственного шума нейронной системы. В (11.2) предполагается, что вследствие малости Asa (s + As) = о (s). Конкретный вид функции (11.2) сейчас не имеет значения. Однако ее всегда можно определить, зная апостериорные плотностиЧ / (x/s -)- As) и / (x/s). Для нормальных плотностей функция к (х) была вычислена в главе 2. Для обнаружения приращения As с заданными вероятностями р (S -f- A S/s + As) - рх и с, вероятностью ложной тревоги а0 следует выбрать порог Я0.
Допустим, что величины s и As изменяются, но при этом вероятности рг и а0 остаются неизменными. Тогда'порог Я0 должен быть функцией s и As:
к$ = к0 (s, As).
Рассмотрим пример с нормальными апостериорными плотностями / (x/s + As) ’и / (x/s); ms = s + As, m„ = s; as = an = a (s).
Вероятность обнаружения приращения сигнала As равна (см.
к [s, As, о (s), х],
(11.2)
главу 4, § 2, (4.14)):
Р (S + A S/s + As) = erfc (¦ X*^~As)) ,
(11.3)
где х* — пороговое значение стимула, при котором принимается решение.
Логарифм отношения правдоподобия для этого случая записывается в виде
1 m / \п 2(х — s)As — As2 ... /л
1пГМ*)] = ------------------¦ (11-4)
Переход к логарифму здесь необходим. Действительно, приращение ощущения А/ должно стремиться к нулю вместе с приращением стимула As. Этим свойством обладает, в частности, функция In [X, (а;)], так как при As -v О, X (х) -»- 1 In [Я (х)] -v 0.
Пусть теперь вероятность обнаружения равна
р (S + A S/s + As) = V*.
Эта вероятность достигается, если порог х* является функцией s и As, имеющей вид (см. (7.1а)):
х* = s + As. (11.5)
Таким образом, когда порог х* выбирается в соответствии с (11.5), то независимо от того, как изменяются s и As, вероятность обнаружения остается постоянной и равной 1/2.
Порогу х* соответствует единственный порог Я0 на шкале отношения правдоподобия. Согласно (11.4) и (11.5) порог In Я0 равен
In К0 = In [Цх*)] = -y-(-^j)* • (И-6)
Следовательно, порог In Я0 должен быть квадратичной функцией As. Кроме того, он зависит также от величины стимула s, от которого зависит о (s).
Вероятность ложной тревоги при этом равна (4.15)
р (S J- AS/s) = а„ = erfc ( ^у")
и изменяется вместе с изменением s и As.
После этих предварительных замечаний можно перейти к построению шкалы отношения правдоподобия.
Для обнаружения приращения As используется решающее правило
к (х) > Я0.
Поэтому естественно «измерять» ощущения, пользуясь шкалой отношения правдоподобия. За «приращение ощущения» А/ можно принять какую-либо монотонную функцию X (Я0), так как шкала X (х) определена с точностью до «монотонного преобразования». Таким образом, величину А/ можно принять равной
где к — постоянная величина. В частности, X (к) может быть логарифмической или какой-либо другой монотонной функцией, удовлетворяющей условию X (1) = 0.
На основании сделанного ранее замечания для заданной вероятности обнаружения порог Х0 будет зависеть от стимула s и приращения As (11.6). В этом случае величину X (Я0) нельзя использовать в качестве единицы измерения ощущения А/, так как, очевидно, единица ощущения должна оставаться постоянной. Поэтому необходимо найти такую функцию
А * = /(*), (11.8)
для которой порог Я0 оставался бы неизменным при изменении s1. Величина As в (11.8) — пороговое значение, обнаруживаемое с вероятностью Р1 = 1/г-шИначе говоря, нужно найти такую функцию / (s), для которой порог Х0 был бы инвариантен к изменению стимула s.
Отыскание функции / (s) является основной задачей шкалирования. Задача эта сложная, так как остается неизвестной функция a (s) в (11.6), характеризующая собственные шумы системы. Более того, остается неизвестной также зависимость Я0 (s, As). Зависимость (11.6) имеет место только для нормальных функций / (x/s + As) и / (x/s) и поэтому является лишь одной из возможных.
Определение функции / (s) (11.8) из условия инвариантности порога к0 отношения правдоподобия к изменению величины стимула s является одной из основных задач психофизики. Она включает в себя выбор функции In [Я (х *)], инвариантной по отношению к изменению s, и экспериментальную оценку функции / (s) для реальной нейронной системы. Разумеется, эта задача выходит за рамки теории статистических решений. Интересным примером ее решения является закон Вебера (см. глаьу 7, § 2). Закон для средних значений интенсивности устанавливает линейную зависимость
