Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
As = a (s -f s0), (11.9)
где а и s0 — постоянные величины. В этом случае а (s) есть линейная функция
a (s) = аг (s + s0).
Возвращаясь к рассмотренному примеру (11.6), можно заметить, что порог Я0 инвариантен к изменению s, если As и о (s) линейно зависимы:
As = аа (s). (11.10)
За величину А/ при этом можно принять
д/ = *[14м,,*=-^-.; (и-ll)
При условии (11.10) вероятности ложной тревоги и попадания также инвариантны к изменению s. На рабочей характеристике ус-
ловию (11.10) соответствует точка, не.меняющая свое положение при изменении s. Значение порога Х0 в этой точке также не зависит от s.
Пользуясь (11.11), можно построить шкалу с единицей ощущения, равной^едва заметному различию (е.з.р.) [12]. Действительно, за величину е. з. р. на основании (11.11) можно принять ощущение А/, вызываемое относительным приращением стимула As/s. Любое другое ощущение можно измерить теперь в единицах А/. Уравнение (11.11) в следующем параграфе используется для построения логарифмической шкалы. 3
Для получения зависимости (11.1) следует предположить, что уравнение (11.11) остается справедливым для бесконечно малого приращения ds. Тогда
dl =к—— . (11.12)
a(s)j 4 '
Теперь становится ясным переход в (11.11) к функции^[1пЯ0]‘^. В этом случае уравнение (11.12) легко интегрируется. Если проинтегрировать это дифференциальное уравнение, то получится явная зависимость, выраженная формулой (11.1). Однако для этого должна быть известной функция а (s). При этом особенно важно точно оценить поведение функции а (s) в окрестности точки s = = 0, так как оно определяет вид шкалы (11.1).
Выбор единицы ощущения в соответствии с (11.11) следует расценивать как один из важных результатов современной психофизики. Как будет показано, на основании (11.11) можно получить различные шкалы, допуская те или иные предположения в отношении функции a (s).
Универсальность соотношения (11.11) связана,' по-видимому, с удачным выбором нормальных плотностей вероятности / (x/s + + As) и / (x/s) для аппроксимации функции к (х). Кроме того, было сделано правдоподобное предположение о собственных^ шумах нейронной системы. Считалось, что в задаче обнаружения приращения As сигнала s собственный шум нейронной системы изменяется незначительно, так что имеет место соотношение
a (s + As) s о (s).
Однако не следует думать, что (11.11) является единственным возможным выражением для порога А,0. Более сложный пример получается, если учесть (несмотря на малость As) изменение среднеквадратичного значения a (s). В этом случае нормальные апостериорные плотности имеют следующие параметры:
ms = s + As, as = a (s + As) и \mn = s, on = о (s).
Естественно предположить, что as ^ an. Апостериорные плотности вероятности для этого случая изображены на рис. 2.3к(верх-ний рисунок слева). Тогда, как показано в главе 2, логарифм
отношения правдоподобия должен иметь вид In [А, (и)] = 1/2Os (%2и2 — (и — As)2) — In %,
где х = aJOn = о (s + As)/a (s), и = х — s.
Отношение правдоподобия X (а?) является в этом случае немонотонной функцией х (см. рис. 2.2).
Функция In [A, (w)] удобна при решении некоторых задач, в которых понятие классического порога оказывается неприменимым.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть испытуемый должен запомнить сигнал эталонной интенсивности s и определить, является ли предъявляемый ему сигнал s± = s + As эталонным или нет [17]. Эта схема опыта сохраняется для оценки разностного порога As. Однако в последнем случае эталонный сигнал s предъявляется каждый раз для сравнения с предъявляемым сигналом sx. Для решения подобных задач можно предположить, что принимается решение: «предъявленный сигнал отличен от эталона», есль.
In [Я (и)] > In Х0,
где порог In к0 определяется допустимой вероятностью ложной тревоги. Квадратное уравнение
In (и)] = In Я0 (11.13а)
определяет в этом случае два значения стимула их, иг. Решения относительно гипотез и Н2, т. е. «сигнал — не эталон», «сигнал — эталон», принимаются по следующему правилу: если ui ^ х ^ w2i то принимается Нг, если х < иг, х и2, то принимается^^ Рассматриваемому случаю ss ]> ап соответствует рис. 2.3 (левый верхний).
Таким образом, для подобного рода задач имеются два критических значения стимула, иг и и2, и обычное понятие порога неприменимо. В соответствии с двумя значениями иг и щ имеются два разностных порога для значений стимула и < О и значений и _> 0, так как дифференциальная чувствительность системы в точке х = s может быть разной при подходе слева и справа.
Для определения порога In Я0, инвариантного относительно изменения s, теперь можно воспользоваться рассуждениями, аналогичными используемым для получения выражений (11.6) и (11.11).
Пусть необходимо обнаружить сигнал s + As с заданными вероятностями попаданий и ложной тревоги а0. Вероятности попадания и ложной тревоги для рассматриваемого случая равны (см. (3.1)):
