Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Вероятность р (Rijns) выбора первого интервала, когда имеет место событие ns (появление сигнала п в первом интервале и появление сигнала s-\-n во втором интервале), очевидно, есть вероятность неправильного решения, т. е. вероятность «ложной тревоги».
Две другие вероятности р (R2/ns) и р (R2/sn) связаны с вероятностями р (Rl/sn) и р (Rl/ns) соотношениями
1 Линейные характеристики могут иметь также другие распределения.
г (S/s) = г (S/n) + d'.
(4.20)
р (Rl/sn) = 1 — р (R2/sn), р (R2/ns) = 1 — р (R)Jns).
Для определения функции правдоподобия Я (xlt х2), которая в этом опыте зависит от двух значений, хг, х2, сигнала х соответственно в первом и втором интервалах наблюдения, необходимо иметь две условные плотности вероятности — / (хъ x2/sn) и f (хг, x2/ns).
Для случая нормальных апостериорных плотностей / (x^x^/sn) и / (xlt xjns) (Приложение I) функция Я (xlt хг) имеет вид
где ms, тп, <5S, <зп — математические ожидания и среднеквадратичные значения величин xt и х2 соответственно; г—коэффициент корреляции величин xt и х2.
Параметры плотностей вероятности ms, тп, аа и <зп зависят только от состояния s и п и не зависят от их порядка во времени.
Если та — тп < 0 и г <; 0, то обнаружение оказывается менее эффективным по сравнению со случаем некоррелированных Xj, х2, так как в этом случае In Я (х1; х2) имеет меньшую величину из-за большего значения знаменателя 1 — г.
Если г = О, то отношение правдоподобия будет монотонной функцией разности хг — х2. В этом случае Я (хг — х2) равно отношению апостериорных плотностей / (u/sri) и / (u/ns), где и =' = Х\ х2.
Если ij и i2 — нормальные независимые величины, то и разность их — также нормальная величина с параметрами Ат и
зг = V<5% -f- а„. Если имеет место событие sn, то
Ат = М (хг — х2) = ms — тп,
при этом предполагается, что <js = ап = в.
Если имеет место событие ns, то
— Ат = М (х\ — х.2) тп — ms, (хг — хг) = 2а2.
Тогда
Dt (хх — х2) = D (xt) + D (х2) = 2s2
/ (и/т) = (2яа\) 2 ехр ? - f
/ (м/res) = (2jtffi) 2 ехр ^ - (“ +^-та)2 .
Для вероятностей попадания и ложной тревоги получаются следующие выражения:
оо
р (Ri/sn) = ^ / (u/sn) du = erfc —g--m j,
X*
оо
p(Ri/ns) = ^ f(u/ns) du = erfc j, где a* = 2o2,
a;*
или p (Я1/«п) = erfc (x — d'), p (Ri/ns) = erfc x, где
x==?±bnL 2' _ 2-^- == Y2d'. ei 3i
Таким образом, в частном случае независимых симметричных наблюдений (as = ап) в двух интервалах описание схемы с принудительным выбором совпадает с описанием схемы типа «да — нет». Различие будет лишь в выборе параметра d', который в У2 раз больше значения d' в схеме «да — нет».
Пусть наблюдатель выбирает интервал, в котором отношение правдоподобия имеет большую относительную величину (по отношению к значению X в другом интервале), и пусть случайные величины ^.s при наличии сигнала и Хп при наличии одного шума независимы. Если выборке из s + п соответствует величина Xs, большая, чем Хп при выборке п, то выбор наблюдателем первого интервала будет правильным решением. Тогда для вероятности правильного ответа с при пороге А0 можно по теореме умножения записать
pu(Rlfsn) = рх,(с) = p(K>h)-P(K<.h), (4-21)
так как правильный ответ является событием, равным произведению двух независимых событий: Xs > Я0 и Хп < Х0. Вероятность правильного ответа для любого порога можно получить по теореме сложения вероятностей. Так как вероятности р (Xs > ^0) и Р (кп < ^о) — непрерывные функции Х0, то вероятность р2 (с) правильного ответа равна
р (Ri/sn) = рг (с) = $ р (X > Х0)р (Хп < Хд) dX0. (4.22)
Далее имеет место равенство Р (К < ^о) = Ръ (N/n).
Действительно, р (кп < Я,0) есть вероятность обнаружить шум, когда s = 0 при пороге Но эта вероятность является условной вероятностью р\0 (N/n) гипотезы N о шуме, когда в действительности имеется один шум п (s = 0). Вероятность р (Л„ < Д.0) можно выразить через вероятность противоположного события
Р (К < К) = 1 — Pi* (S/n). (4.23)
С другой стороны, для первой вероятности, стоящей под интегралом (4.22), имеем
Р (К > К) = Рхо (S/s). (4.24)
На основании (4.23) и (4.24) для вероятности (4.22) можно записать
Ра (с) = (?Vs)[l — (S/n)\ d\0,
но
Р>.о (S/s) dk0 = dp-K„ (S/s) есть дифференциал вероятности Ри (S/s). Поэтому окончательно имеем 1
р2 (с) = § [1 — Рл„ (S/n)] dpXt (S/s). (4.25)
О
Последняя формула позволяет интерпретировать р2 (с) как площадь под РХ процесса решения, как это видно из рис. 4.5. Произведение под интегралом определяет площадь элементарной полоски при пороге (рис. 4.5).
При этом, когда порог изменяется в пределах от — оо до оо, дифференциал dp^0 (S/s), как это следует из рисунка, изменяется в пределах от нуля до единицы.
