Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому пределы интегрирования (—оо, оо) в (4.22) заменяются пределами 0 и 1 в (4.25).
Таким образом, мы получили еще одно важное свойство РХ, которое можно было бы назвать глобальным. Именно по виду РХ
МОЖНО СуДИТЬ О «Ср6ДН6М>> качест- Р И с. 4.5. РХ в опыте с двойным ве процесса решения для данного интервалом стимулирования наблюдателя. Чем больше площадь под РХ, тем лучше процесс
решения, так как он обеспечивает больший процент правильных ответов. Если РХ совпадает с диагональю, то решения носят чисто случайный характер, так как число правильных ответов составляет лишь 50%.
Это важное свойство РХ сохраняется для т-альтернативной схемы. В этом случае сигнал может появиться в одном из т ин-
/jfS/sJ
pfS/n)
тервалов, в которых^нроизводятся наблюдения. В остальных т —1 интервалах содержится один шум. Если наблюдения независимы, то рассуждения, аналогичные только что сделанным, приводят к следующему выражению для правильного ответа:
1
Рт (С) = ^ f1 — PU О5»]™-1 dPA. (S/S).
О
До сих пор рассматривались независимые наблюдения при наличии сигнала и одного шума. Кроме того, предполагалось, что на решения не влияют смещения, связанные с различными ценами за правильные и неправильные решения.
Решение в случае m-альтернативной схемы принималось по максимальной величине отношения правдоподобия (симметрические задачи). Последнее ограничение легко устранить, если ввести цены. Раньше в случае двух интервалов наблюдатель выбирал интервал с большим значением к (х). Пусть теперь выбирается первый интервал, если отношение правдоподобия в первом интервале в с раз превышает отношение правдоподобия во втором интервале. Тогда вероятность правильного решения i?l (выбор первого интервала) равна
р2 (RVsn) = j р (ks > к0) р (кп < к0/с) dk0.
Эта формула получается аналогично (4.22). Далее, проделывая те же самые выкладки, что и для получения (4.25), имеем
р2 (RVsn) г= j [1 _ px0\c(s/n)\dp}., (S/s)
ИЛИ
р2 (Rl/sn) = 1 — \ Рь„|С (s/n) dpi, (S/s). (4.26)
Вычисление р (R1/sre) проводится аналогично уже вычисленной вероятности р2 (с) для симметричного случая.
Если сигнал появляется во втором интервале (в первом интервале шум), то событие RI обнаружения s в первом интервале имеет место, когда
кп > ск0 и!,< Я,0.
Вероятность ошибочного решения равна
р2 (R\/ns) = JPcXt (S/n) dp^ (S/s). (4.27)
Вероятности р (Ri/sn) и р (Ri/ns) соответствуют вероятностям р (S/s) и р (S/n) для задачи с одним интервалом. Они полностью описывают поведение наблюдателя, так как две другие вероятности вычисляются из условия нормировки
р2 (R\/sn) -\- pi (R2/sn) = 1, рг (Rl/ns) + рг (R2/ns) = 1.
Из уравнений (4.26) и (4.27) можно заметить, что координаты РХ в случае эксперимента с принудительным выбором в двойном интервале получаются интегрированием координат РХ для одного интервала.
Наконец, еще одним полезным свойством РХ в эксперименте с двумя интервалами является ее симметрия относительно диагонали с «отрицательным наклоном» («отрицательной диагонали»). Это свойство следует сразу из уравнений (4.28). Если кривая у (х) симметрична относительно отрицательной диагонали, то между координатами точек М (х, у) и (xlt г/х), симметричных относительно «отрицательной диагонали», имеют место соотношения
У = 1 — хи ух = 1 — х. (4.29)
Положив
у = р (Ri/sn), Ух = р (R2/ns), х == р (Ri/ns), = р (R2/sn),
можно убедиться, что уравнения (4.28) удовлетворяют этому условию.
В случае одинаковых цен за ошибки при выборе первого или второго интервалов РХ симметрична для любых апостериорных плотностей / (x/s) и / (х/п).
Из уравнений (4.28) и (4.29) непосредственно получается соотношение между порогами и ^-oi в симметричных точках М и
dy __ 1
dx dx/dy
Учитывая (4.28), (4.29), можно записать предыдущее уравнение в виде
dp (Ri/sn) ' dp (R2/ns) 1-1
dp (Ri/ns) _ dp (R2/sn) J
Последнее равенство равносильно следующему соотношению между порогами в точках М и
= (4.30)
§ 4. Рабочие характеристики дискретных процессов
Дискретные случайные величины играют важную роль не только в физике и технике, но также в психофизике и физиологии. Это связано с формой сигналов отдельных нейронов или нейронных цепочек. Сигналы представляются последовательностью одинаковых импульсов. Полезная информация в таком сигнале передается частотой следования импульсов. Если полезный сигнал отсутствует, то имеется нерегулярная, случайная последовательность импульсов (фоновая активность нейрона). Такая последо
вательность импульсов обычно хорошо описывается распределением Пуассона (см. ниже).
В связи с развитием микроэлектродной техники метод рабочих характеристик начал широко применяться для анализа отдельных нейронов и нейронных цепей. Поэтому здесь рассматривается построение РХ дискретных случайных величин (дискретных процессов), описываемых биномиальным, геометрическим распределениями, а также распределением Пуассона.
