Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Имеем:
ехр [о 2 [тх
Уравнение разделяющей границы определяется условием
к (х) = Я0.
В данном случае областью Г является отрезок и граница есть точка х* с координатой, определяемой указанным уравнением. Логарифмируя уравнение и определяя х*, имеем , - т . з2 , .
Ж — lnk0.
При к (х) < имеет место х<^~ In Я0> а при к (х) > ^ к0 — Xi -я—|—— In к0.
I 77%
Области Г0 и Гх представляются отрезками прямой, расположенными справа и слева от точки х* (рис. 3.2).
% (х) =
Г (* — mr 1 ехр [- 2—- j
ехр [--щ-]
К
Яоса
Для вероятности ошибки первого рода имеем а = р (х > х*/0),
оо
оо
= »15 еч> ix ” erfe (4-)'
сс*
(3.12)
Для вероятности ошибки второго рода имеем
Р = Р (х < х'/т),
— ОО
(3.13)
оо
erfcx = (2jt)-‘l^ exp ^-------------
X
Теперь можно возвратиться к эквивалентности стратегии Неймана—Пирсона бейесовской стратегии. Действительно, для того чтобы использовать стратегию Неймана—Пирсона в этом примере, следует задать а = а0 и из уравнения (3.12) определить порог х*. Далее, подставив х* в уравнение (3.13), мы определим значение р (а0), которое в данном случае является минимальным.
Рассмотрим теперь применение бейесовской стратегии в случае двух наблюдений: xxxt.
Тогда (см. Приложение I), если ххх% — независимые наблю-
Рис. 3.2. Порог х* на оси стимула
дения,
(хг — т)2 Х2
Х2 — т
f (xjx^rn)
exp
X (xtx2) =
f (а^з/О)
или
X (x 1X2) = exp
mxl -f- mx2.— rrfi
Логарифмируя, получим с2
+ я2 = т -\------1п Я,0.
Это — уравнение разделяющей прямой в плоскости х2). В частности, если положить
то будем иметь следующее решающее правило: если U <. О, то принимается Я0; если U > О, то принимается Нг.
Так как хг и х2 — нормальные величины, то U тоже нормальная величина и ее математическое ожидание и дисперсия легко
определяются из приведенного выше выражения для U. Теперь можно определить вероятности ошибок первого и второго родов:
Р = р(?^<0/т1 = ич>т) = 1 -erfc^—• +-^=1пЯ,0^.
В случае наблюдения к независимых переменных также можно показать, что уравнение разделяющей поверхности есть
I I I кт , а2 , ,
Х1 + х2 + • • • + хк = -jj--Ь
Разделяющей поверхностью является гиперплоскость в fc-мер-ном пространстве. Если положить
к
U = Yjx i-*ir ™ и <0 - Н0, U>0 — Hv
а =
р(Ц > O/m-i = mz = 0) = erfc ^----------------------------------у= In k0^j,
Геометрически это изображено на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Разделяющая граница в плоскости х,Ох2
Условные плотности вероятности случайной величины V представлены на рис. 3.4.
Для ошибок первого и второго родов имеем выражения:
Из последнего уравнения следует, что если хх, х2, . . ., xk взаимно независимы, то при к —к оо а, Р —> 0.
Этот результат следовало ожидать, так как в этом случае ситуация становится все более определенной.
В симметричном случае q0 = qx = V2, са = cp, In Л0 = 0 и, следовательно, а = р. В общем случае разделяющая поверхность не является гиперплоскостью. Из уравнения этой поверхности видно, что плотность вероятности / (x/hi) (i = 1,2 . . .) должна обладать специальной симметрией, чтобы разделяющая граница была гиперплоскостью. Так, разделяющая граница / (х^/О) = = / (х^/тп) будет прямой только при Oj = о2 = о.
Рис. 3.4. Порог V*
и*= о
Глава 4
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В НЕЙРОННЫХ СИСТЕМАХ
§ 1. Основные схемы психофизических экспериментов
Чтобы применить статистическую теорию решений к описанию пекоторых аспектов поведения в рамках исследования «стимул — реакция», необходимо решить две проблемы:
1) найти способ сравнения предсказаний теории статистических решений с экспериментом;
2) ответить на вопрос «Что есть что»?
Это означает, что нужно дать психофизическую интерпретацию основных понятий теории принятия решений, таких, как решающее правило, критерий, порог и т. д.
Четвертая и пятая главы посвящены первой из названных проблем. Ответ на второй вопрос частично содержится в шестой главе, где рассматривается теория порога. В частности, анализ различных теорий порога на основе понятий статистических решений позволяет вложить психофизическое содержание в некоторые формальные понятия теории обнаружения. Способ экспериментального подтверждения любой теории является, как известно, одной из самых трудных задач науки вообще и данной теории в частности. Необходимо предположить различные экспериментальные схемы для проверки предсказаний теории с различных точек зрения. В частности, применительно к теории принятия решений следует рассмотреть основные схемы экспериментов в психофизике. Мы остановимся на трех таких схемах.
1. Двухальтернативыая схема с одним интервалом наблюдения 1. Опыт проводится по следующей схеме (рис. 4,1). В интервале наблюдения подается стимул (например, полезный сигнал в шуме). Теория статистических решений применяется к задаче обнаружения полезного сигнала в шуме. Здесь оказывается применимой двухальтернативная схема. Например, полезным сигналом может быть чистый звуковой тон
