Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 3
ИОНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ
§ 1. Начало оптимальности
Сравнение апостериорных вероятностей гипотез для выбора одной из них привело к решающему правилу вида (1.3)
X (х) «5 Хо-
Правило (1.3) использует порог отношения правдоподобия. Этот неожиданный результат близок к одной из основных гипотез, принадлежащих классической психофизике: гипотезе существования критического значения стимула х* — порога ощущений. В соответствии с этой гипотезой реакция на раздражитель появляется, если х > х*, и не появляется, если х < х*.
Это решающее правило намного проще правила (1.3). При этом возникает интересный и важный вопрос: чем решающее правило
(1.3) отличается от элементарного правила (х > х*, х < х*). На этот вопрос имеется вполне определенный ответ.
Оказывается, решающее правило (1.3) позволяет получить в некотором смысле лучший результат по сравнению с правилом (х > х*, х < х*). Для того чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть задачу обнаружения сигнала для случая (ys<<ffn, когда отношение правдоподобия не является монотонной функцией (рис. 3.1). Для этого следует вычислить р {S/s) и р (S/ri) для этих двух решающих правил. Для решающего правила (х > х*, х •< х*) р (S/s) и р (S/n) равны:
оо оо
р (S/s) = ^ / (z/s) dx, р (S/n) = ^ / (¦'''/п)(1г-
X* X*
Для решающего правила (1.3) согласно (2.2), (2.5)
Pi(S/s)=: \ / (x/s) dx, pi (S/n) = \ f{x]ri)dn. (3.1)
?»'3c)^Xo X(x)>Xo
Сравнивая между собой p и рг, можно заметить, что для случая crs < ап (немонотонная функция X (х) — рис. 2.2, I, III), и именно для него, решающее правило (1.3) дает лучший результат по сравнению с элементарным правилом (х^х*, х<х*). Это видно из рис. 3.1, где изображены апостериорные плотности / (x/s) и f (х/п) для случая as < (?„. В случае элементарного ре-
шающего правила вероятности р (S/s) и р (S/n) равны площади под кривыми / (x/s) и / (х/п) справа от линии х = х*. С другой стороны, в соответствии с рис. 3.1 вероятности р1 равны:
*2 Х2
Pt (S/s) = § / (x/s) dx, p! (S/n) = § / (x/n) dx.
*1 Xi
Из рис. 3.1 непосредственно видно, что (S/s) < р (S/s). Следовательно, решение, использующее отношение правдоподобия, может привести к лучшему результату по сравнению с элементарным решением, использующим порог х*. Это достигается за счет тйго, что более общее правило К (х) ^ Я0 в случае as ^ ап эквивалентно «нескольким» порогам на оси х. На рис. 3.1 оно эквива-
лентно двум критическим значениям стимула: хх и х2. В общем случае может быть любое число значений хъ х2,. . хп на оси х.
Таким образом, переход к шкале отношения правдоподобия приводит к лучшим решениям. Естественным теперь является вопрос о существовании в определенном смысле наилучших, т. е. оптимальных, решений.
Оказывается, решение (1.3), связанное с отношением правдоподобия, является в некотором смысле оптимальным. Важной особенностью решающего правила (1.3) является его универсальность, которую следует понимать в следующем смысле: при изменении в широких пределах требования критерия оптимальности решающее правило (1.3) отношения правдоподобия не изменяется.
Пример 3.1
Естественной является следующая оптимальная стратегия: максимизировать величину
Я = р (Яа/А.) - ур (Нг/кх),
где у — некоторая постоянная. Ясно, что такая стратегия выгодна. Так, например, при 7 = 1 она дает максимальную относительную вероятность правильного решения в пользу гипотезы #2 (максимальный процент правильных ответов).
Параметр у определяет относительный вес в критерии требований, касающихся вероятностей р (H2/h2) и р (HJhj).
Рассмотрим, к какому решающему правилу приводит критерий максимума величины R. Обозначим через А множество дискретных значений xt (пока неизвестное), которые приводят к принятию гипотезы #2. Тогда для вероятности р (HJh2) можно записать
р(#2/й2) = 2 p{Xi/h2),
*iS=A
где сумма в правой] части распространяется на все xt, входящие в А.
Аналогично для вероятности ошибки первого рода имеем
р(Н2/fci)= 2 р(хi/hi).
*геА
Для величины R можно записать
Д = S P(Xi/h2) — y S P(%i/hi)= Ц (Pixi/h^ — ypixi/h!)).
3CjEA *iSA *isA
Величина R должна быть максимальной. Этого можно добиться, если множество А выбрать так, чтобы
Р (х}/н2) — ур (Xilhх) >0, Xj е А.
Но вместе с тем А не должно включать те х(, для которых
Р (Xi/h2) — УР {xjhi) < 0, xt ф А.
При выполнении этих условий под знаком суммы в R имеются только положительные числа. Нетрудно заметить, что эти условия выполняются, если А выбрать из условия
Р (Xj/hj)
Р {xi/hi)
Следовательно, гипотеза Д2 принимается тогда, когда отношение правдоподобия превышает порог у. Таким образом, критерий max R приводит нас к правилу отношения правдоподобия.
