Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
х (t) = A sin at, где А — интенсивность сигнала.
Сигнал действует на систему на интервале (О, Т). Если для определенности положить Т = 10, то сигнал х (t) будет иметь вид, приведенный на рис. 2.1 (сплошная кривая).
Однако рецепторы воспринимают лишь дискретные уровни сигнала. Поэтому вместо непрерывного сигнала х (t) в нейронную
Рис. 2.1. Дискретное представление сигнала
систему поступает дискретный сигнал (ступенчатая функция на рис. 2.1).
Таким образом, можно видеть, что рецепторы воспринимают вектор. На первом полупериоде синусоиды этот вектор имеет вид х (хг, х2, х3, xk, х^х3, хг, ?j). Чем выше чувствительность рецепторов, тем более точно система может воспринимать непрерывный сигнал х (t), так как число уровней квантования при этом увеличивается.
Как уже было установлено в первой главе, для принятия решения в случае простой альтернативы (две гипотезы Нг и Н2) следует вычислить функцию отношения правдоподобия X (xt, . . . . . ., xh), которая может быть функцией к переменных.
Функция X (х) определяется для непрерывных случайных величин (2.1) вполне аналогично (1.4). Разница заключается лишь в том, что вместо вероятностей р (е;7/гх) и р (ej/h?) используются
Рис. 2.2. Функция отношения правдоподобия и РХ
условные плотности вероятности / (x/s) и / (х/ге) векторной случайной величины (2.1) (см. Приложение I).
Следовательно, независимо от того, с каким сигналом х приходится иметь дело, общее решающее правило (1.3) связано с переходом от шкалы сигналов х к шкале отношения правдоподобия X (х). Если пространство стимулов является многомерным х (хх, . . ., xk), например црщ восприятии зрительного образа, то шкала отношения правдоподобия всегда одномерна. Отсюда следует неэквивалентность шкалы к {х) шкале х. Однако даже для одномерного сигнала х шкала X (х) не всегда эквивалентна шкале х. Если Х(х) является взаимно-однозначной функцией, то каждому х соответствует одно и только одно значение X {х), И наоборот, В этом случае шкала X (а:) эквивалентна шкале х. Это
видно из рис. 2.2, II, где X (х) является монотонно возрастающей функцией. В противном случае шкала отношения правдоподобия X (х) не эквивалентна шкале сенсорных сигналов, т. е. на оси стимула х может не существовать единственного порога х*, определенного Фехнером и Вебером. Тогда следует говорить о пороге Х,0 для отношения правдоподобия. Следовательно, порог Х,0 обобщает понятие порога х*, введенного Вебером и Фехнером.
Пример 2.2.
Рассмотрим, какой вид имеет функция X (х) для нормальных апостериорных плотностей вероятности, когда среднеквадратичные значения аи <т2 плотностей вероятности f (x/hj), f (x/h2) равны и для неравных alt <т2.
Случай а1 ~ ~ а
Для отношения правдоподобия имеем
1 (т\ — f ix/h'2)
fWhj ’
[1 1 9
— (m2 — — (m2 — m?)
Положив
__ m2 — m1 ____ Am
a a
для In X (x) можно записать
I„M !=l+2b.) = dV,
где
x' = — Ix —- m2-+mi
a \ 2a
Следовательно, отношение правдоподобия принимает вид рис. 2.2 (II)
X (х') = exp d'x', In X (х) = d'x’.
Таким образом, при сгх = <т2 отношение правдоподобия является монотонной функцией х. Каждому значению порога Х0 соответствует единственная точка х* на оси х и наоборот. Порог з* есть критическое значение стимула. Именно в этом смысле понимали порог Вебер, Фехнер, Кравков и другие исследователи.
Случай <Тх ф сг2
Здесь X (х) уже может быть немонотонной функцией. Следует рассмотреть случаи >= 1, < 1. Отношение правдопо-
добия для них представлено на рис. 2.2 (/, III). Характер кривой X (х) для 02/0, 1 легко объяснить, если обратиться к плотно-
стям вероятности / (x/h2) и / (x/h^) (2.3). При отрицательных значениях' х величина / (xlk2) больше величины функции f (x/h^, поэтому отношение правдоподобия вначале убывает от бесконечности при х = — оо до единицы] в точке х = а. Это убывание
йвЛйе^сй слёдбтвием возрастания значений функции / (х I hx) прй увеличении х. Затем имеется интервал, в котором из-за резкого возрастания / (х/hj рост функции X (х) замедляется. В точке х = Ъ отношение правдоподобия еще раз делается равным единице. Затем функция вновь возрастает вследствие увеличения функции / (x/h2).
Отношение правдоподобия в случае а2 ф tfi имеет вид
(*) = 1/Х ехР -^г(х — т^ ~(х~ т*)*!.
где X = о'г/о'х-
§ 2. Рабочая характеристика процесса решения
Важно уметь описать процесс решения, осуществляемого сенсорной системой. Так как решение принимается в соответствии с детерминированным правилом (1.3), то при принятии или отклонении гипотезы можно совершить ошибку двух видов. Если мы отклоняем гипотезу Нг, когда она истинна, то совершается ошибка первого рода. Если мы примем гипотезу Hlt когда она в действительности не имеет места, то совершается ошибка второго
рода.
Выбор границы, разделяющей Гх, Г2, однозначно определяет вероятности ошибок первого и второго родов. Действительно, если а — вероятность ошибки первого рода, то согласно определению она равна условной вероятности р (HJhj):
