Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 8

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 95 >> Следующая

« = р(Хег2/kj) = 5 /(x/^i)dx> (2-2)
г,
где / (x/hi) — условная плотность вероятности вектора X при условии, что имеет место hx, т. е. гипотеза Н1 истинна. Если [J — вероятность ошибки второго рода, то она равна условной вероятности р
Р = р(Хе гi/ft2) = \f(хАг)dx, (2.3)
г,
где / (x/h2) — плотность вероятности вектора X при условии, что гипотеза h2 истинна.
В (2.2) и (2.3) использовано одно и то же обозначение /(•) для двух разных функций.
Замечание. Формулы (2.2) и (2.3) получаются согласно правилам вычисления вероятности попаданий случайной точки в заданную область (Гх или Г2). В данном случае Гх, Г2 являются областями if-мерного пространства, так как наблюдается вектор X. Если X является непрерывным вектором, то в (2.2) и (2.3) используются условные плотности вероятности. Если X — дискретная случайная величина (в первой главе она обозначалась ej), то в
(2.2) и (2.3) используются условные вероятности р (xjhj),
p (xjh^j, при этом интегралы переходят в суммы:
«= S Р(^п/М. (2.2')
*пега
Р= S р{Хп!К). (2.3')
х„ег‘
Пример 2.3.
Пусть, например, X = s + п — случайная величина, являющаяся суммой полезного сигнала s и шума п, распределенного по нормальному закону. Если проверяется двухальтернативная гипотеза s Ф 0 или s = 0, то должны быть даны апостериорные плотности вероятности / (x/s) и / (х/п), которые в данном случае являются нормальными плотностями и имеют вид _ J_
f(x/s) = (2яD) 2 exp (X^DS>2 ],
___l_
1 (Ф) = (2jtZ>) 2 exp .
В этом случае ошибки первого и второго родов выражаются интегралами (2.2) и (2.3).
Если же шум п может принимать только дискретные значения пх, пг, . . .,nk, то апостериорные плотности вероятности / (•) должны быть заменены дискретными распределениями р (Xi/s) и р (яг/0). Интегралы (2.2) и (2.3) перейдут при этом в суммы (2.2') и (2.3').
Из определения аир следует, что 1 — а есть вероятность правильного решения, когда hx истинна, причем
1 — а = р(Х eiy^) = § f(x/hx)dx, (2.4)
г.
1 — р есть вероятность правильного решения, когда истинна, при этом
1 — Р = р (X (ЕЕ Г2/Аа) = ^ / (х//&2) dx. (2-5)
г2
Формулы (2.2) — (2.5) определяют вероятности всех исходов процесса решения. Из выражений (2.2) и (2.3) следует, что нельзя добиться сколь угодно малого уменьшения аир одновременно.
Действительно, если, например, уменьшать а, то следует уменьшать область Г2, так как интеграл берется от неотрицательной функции / (x/hx), но тогда увеличивается область Гх, так как Г = Гх U Г2, и, следовательно, увеличивается вероятность ошибки второго рода р, и наоборот.
Это можно уяснить по рис. 1.2. Так как области Гх и Г2 не пересекаются и вместе составляют область Г, то увеличение области 1\ влечет за собой уменьшение области Г2 и, наоборот, увеличение Г2 приводит к уменьшению Гх. Увеличение площади Г! приводит к увеличению р и уменьшению а за счет уменьшения площади Г2.
Таким образом, можно лишь надеяться иметь минимальную вероятность ошибки одного вида при заданной вероятности ошибки другого вида.
За характеристику системы, принимающей решения в соответствии с правилом (1.3), можно принять зависимость вероятности (2.5)
р (H2/h2) = 1 - р от вероятности а:
а = р (tf^).
Эта зависимость называется рабочей характеристикой решения (РХ).
Величина 1 — р равна вероятности правильного решения о гипотезе Н2, когда она истинна.
В дальнейшем 1 — (3 называется вероятностью обнаружения. Величина а равна вероятности ошибочного решения в пользу гипотезы Н2, когда в действительности имеет место Поэтому а называется вероятностью ложной тревоги. Две другие вероятности, 1 — а и р, тогда определены. Поэтому вероятности Р(Н 2/ft2), р (HJhi) полностью описывают процесс решения. Если выбирают различные значения порога х*, то одновременно изменяются как вероятность р (ff2/%2), так и вероятность ложной тревоги р Это видно из рис. 2.3, на котором изображена ось
стимула х, даны апостериорные плотности / (x/h2) и / (xlhJ и значение порога х*. При этом вероятность а равна площади под кривой / (x/hj) справа от х*, а 1 — |3 равна площади под кривой / (x/h2), расположенной также справа от точки х*. При увеличении порога х* обе вероятности, 1 — р и а, увеличиваются и при х* = оо становятся равными единице. При уменьшении х* обе вероятности уменьшаются и при х* = — оо становятся равными нулю. Следовательно, вероятности 1 — р и а зависят от х* как от параметра. Исключив х*, можно получить РХ как функцию а.
РХ является исчерпывающей характеристикой системы, принимающей решения по правилу (1.3). РХ системы для нормальных апостериорных плотностей / (x/h2) и / (х!h^) и различных Cj и (у2 показаны на рис. 2.2.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed