Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
р (Я*/Ла) = р (S/s) (4.3)
р (#2Ai) = Р (S/n) -= а,
(4.4)
/rtys)
где р (S/s) — вероятность правильного решения о наличии сигнала (вероятность «попадания»); р (S/n)—вероятность неправильного решения о наличии сигнала (вероятность «ложной» тревоги).
Рассмотрим основные свойства кривой Р (ос). Отношение правдоподобия X (х), если х — случайная величина, само является случайной величиной. Обозначим ее апостериорные плотности вероятности при состояниях s и п через g (X/s) и g (Х/п) соответственно. Пусть / (x/s) и / (х/п) являются апостериорными плотностями вероятности сигнала при наличии полезного сигнала или одного шума п. Тогда можно заметить, что имеют место соотношения (см. Приложение I) g (X/s)dX = / (x/s) dx,
g (X/n) dX — f (x/n) dx.
/
J' /
/ V / Чу rl
// /
Л / /
1/
ff
<x
0,5
w
pfS/n)
P и с. 4.2. Порог Xo па PX
(4.5)
(4.6)
Из (4.5), (4.6) следует интересное свойство функции правдоподобия. Имеем
вд = _?Ш-
4 ' S (Х/п)
1 (*Л)
= X (х).
(4.7)
/(х/п)
Последнее соотношение означает следующее. Отношение правдоподобия X (х), когда х является случайной величиной, также является случайной величиной. Поэтому можно вычислить отношение правдоподобия X (X) величины X. Функция X (X) равна отношению условных плотностей g (X/s) и g (Х/п) случайной величины X (4.7). Тогда оказывается, что X [?i, (х)] = X (х). Таким образом, функция X (х) инвариантна по отношению к преобразованию X [•].
Найдем вероятности Р (а) и а, используя апостериорные плотности вероятности (4.5), (4.6). Из определения вероятностей Р (а) и ос имеем
Р (а) = Р (S/s) = ^ g (X/s) dX,
Xo
(4.8)
а = р (S/n) = § g (k/n) d%, (4.9)
Xo
где — порог, при котором принималось решение.
Соотношения (4.8) и (4.9) задают в параметрической форме функцию Р (а). Из (4.8) и (4.9) имеем
dP(a) dP (a)/dXo g (X0/s) . n
da da/dXu g(K„/«) ' ' ‘ ’
Согласно (4.5) и (4.6)
g(kо/*) f(x*/s) Л / »\ (rl \\\
Так как для х = х*
I (**) = к, (4.12)
то, учитывая (4.11) и (4.12), уравнение (4.10) можно записать в виде
dP (a)/da = А,0. (4-13)
Таким образом, производная функции Р(а) равна порогу А,0 или порог наблюдателя при величине вероятности ложной тревоги а равен углу наклона касательной к кривой PL(a) в точке а (рис 4.2).
Уравнение (4.13) является соотношением фундаментальной важности, так как оно позволяет экспериментально установить субъективный порог наблюдателя. Для этого нужно построить рабочую характеристику Р (ос) для различных а. Различных а добиваются, изменяя априорные вероятности полезного сигнала или инструкции, даваемые наблюдателю. При этом, как показывает эксперимент, изменяется порог ^0, при котором принимается решение, а следовательно, и величины а. В случае оптимальной бейесовской стратегии зависимость А,0 от априорных вероятностей и цен определяется формулой (3.9). Таким образом, мы получаем способ сравнения теории с экспериментом. Действительно, определив отношение правдоподобия (теоретически или экспериментально), наблюдая сигнал х при состояниях s и п и определив по РХ порог Л0, мы в состоянии проверить, следует ли наблюдатель указанному правилу принятия решения или нет.
Таков ответ на первый вопрос, поставленный в начале главы.
Ввиду важности РХ для всей теории рассмотрим другие ее свойства. Полезно построить РХ для случая гауссовских плотностей вероятности / (x/s) и / (х/п). Для этого случая имеем
[(х — m )2 1 ----2D~S ]’
[(х — m )2 "I
----ж—]¦
Для вероятностей р (S/s) и а на основании (2.2), (2.3) можно записать равенства (3.1). В случае, когда Я (х) — монотонная функция и апостериорные плотности являются нормальными, равенства (3.1) принимают вид
°° / * \
Р (S/s) = ^ / (x/s) dx = erfc д "?5 j ,
X*
°° / *
r* / X — r
p(S/n)= \ / (xjn) dx = erfc (—-—
(4.14)
(4.15)
где
erfc x = (2jt) 2 ^
Jl 2 dt.
Уравнения (4.14), (4.15) являются параметрическими уравнениями РХ. Параметром служит величина х*. Так как имеются таблицы функции erfc х, то РХ для нормальных апостериорных плотностей может быть легко получена.
pfs/sj d'a > d’ > а: > dfr
?.о
\ <
4'.
W
ш \
(к V \
У \
0,5 7,0
pfS/n1
