Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.3* РХ для разных значений d'
г S 70 20 40 ffO ВО 90 9В p(S/nl, %
Рис. 4.4. РХ в вероятностном масштабе
Рабочая характеристика для гауссовского случая, когда <т8 = ап = о, приведена на рис. 4.3. Чем больше разность d' = (ms — тп)/<у, тем большая вероятность правильного обнаружения сигнала s при заданной величине а. Этот вывод очевиден, так как при увеличении d' должна увеличиться относительная амплитуда полезного сигнала и его легче обнаружить в шуме. Для монотонной функции Я (х) каждой точке х кривой Я (х) соответствует одно значение порога Я и наоборот. Поэтому значения х могут быть нанесены на РХ. Значению х — 0 соответствует точка на пересечении отрицательной диагонали с РХ (касательная в этой точке параллельна биссектрисе угла первого квадранта).
Малым значениям соответствует верхняя ветвь кривой Р (а), а большим — левая нижняя ветвь.
Если cs Ф ап, то отношение правдоподобия к (х) может не быть монотонной функцией х. В этом случае РХ имеют вид, показанный на рис. 2.2 для б8/бп > 1, ajan < 1. Как указывалось, чтобы отдать предпочтение шкале к или шкале х, необходимо установить монотонный характер функции к (х). Это можно сделать, пользуясь РХ. Однако требуются тщательный анализ РХ и определенные навыки в обработке статистического материала. Так, например, если площадь под кривой Р (а) равна 0,75 и б5 = 2ап, то в правом верхнем углу в интервале Р (ос) = 0,96 -ч- 1 наблюдается быстрое возрастание кривой Р (а). Чтобы экспериментально обнаружить такое возрастание, требуется очень большая точность эксперимента. С другой стороны, если as ~ (4 — -н10)сп, то соответствующая РХ мало отличается от РХ для cs = о„, поэтому экспериментальная проверка этого случая также представляет известные трудности.
Рассмотрим дальнейшие свойства РХ, важные для экспериментальной проверки теории принятия решений. Анализ и сравнение РХ удобно проводить в вероятностном масштабе. Для перехода к вероятностному масштабу нужно пользоваться уравнением 1
р (S/s) = Ф [z (S/s)]. (4.16)
Для каждого значения вероятности р (S/s) вычисляется соответствующая ему величина г.
Таким образом, получаются две новые величины: z (S/s), соответствующая вероятности р (S/s), и г (S/n), соответствующая вероятности р (S/n) (вероятность ошибки первого рода или вероятность ложной тревоги). После чего z (S/n) рассматривается как функция величины р (S/n). Преимущество перехода от р (S/s) и р (S/n) к z(S/s) и z(S/n) связано с линейностью z (S/s) как функции z (S/n) для нормальных апостериорных плотностей. Рабочие характеристики в вероятностном методе приведены на рис. 4.4.
В линейном характере РХ в этом случае можно убедиться следующим способом. Вычислим р (S/s) для значения порога х*. На основании (4.14) и (4.16) имеем
z(S/*) = _ (4.17)
в
Аналогично на основании (4.15), (4.16) для z (S/n) можно записать
z(S/n) = ?-Z^L. (4.18)
_ П
1 В (4.16) Ф (z) — функция Лапласа. В конце книги имеются таблицы функции Ф (z). Ранее введенная в (4.14) и (4.15) функция erfc х связана с Ф (z) соотношением erfc х = Ф (— х).
Исключая из (4.17) и (4Л8) параметр х*, получаем
(4.19)
Таким образом, z (S/s) является действительно линейной функцией z (S/n) с угловым коэффициентом on/os и смещением (ms — mn)/as. При as = ап = а все прямые имеют наклон 45°. Тогда функция z (S/s) зависит от одного параметра. Используя уже известный, параметр d', можно записать уравнение (4.19) в виде
По РХ, построенной в вероятностном масштабе (рис. 4.4), легко оценивать параметры ап, as, d'. Величина <тn/as является угловым коэффициентом прямой (4.20). Для оценки d' достаточно найти разность
г (S/s) - z (S/n) = d'.
Так, например, если р (S/s) = 0,98 и р (S/n) = 0,16, то соответствующее этим вероятностям значение —1 можно определить на шкале г (S/n) (рис. 4.4). Значение г (S/s), соответствующее вероятности р (S/s) = 0,98, равно 2. Тогда d' = 2 — (—1) = 3. Наконец, следует заметить, что представление РХ в вероятностном масштабе позволяет проверить нормальность апостериорных плотностей вероятностей / (x/s) и / (х/п) 1. Для этого достаточно убедиться в линейности характеристики z (S/s).
§ 3. Рабочая характеристика в опытах
с двумя интервалами стимулирования
Рассмотрим теперь РХ применительно ко второй схеме опыта, в котором эксперимент проводится с двумя интервалами наблюдения. В схеме опыта с двумя интервалами стимулирования появление сигнала s-\-n в первом интервале и сигнала п во втором интервале будет обозначаться sn, а решение о выборе первого интервала
— Ж (реакция появляется в первом интервале). Вероятность события Я1 при условии sn, т. е. вероятность правильного решения (вероятность попадания), будет обозначаться р (Rl/sn).
