Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Хотя для определения сигнала на выходе линейной системы в равной мере могут использоваться выражения (8.1) и (8.2), применим последнее из них. Тогда получим
h (t) = 0, t < О,
(8.3)
оо
(8.4)
ния на случай воздействия недетер'
x(t) y(f) минированных сигналов. Пусть им-
h(i) ^ пульсная характеристика линейной
------системы равна
Рис. 8.1. Представление линейной системы во временной области.
X (t) = М + 4 cos (21 + 0), —оо < t < оо,
V (t) = j [М + 4 cos (2К + 0)] 5 ехр [—3 (t - X)] dX.
— оо
В результате интегрирования имеем
Y (0 = 6/3М + (20/13) [3 cos (2t + 0) + 2 sin (2t + 0)1. Отсюда следует, что сигнал на выходе рассматриваемой линейной системы также является случайным процессом и содержит те же самые случайные параметры, что и процесс на входе. Более того, если определены плотности вероятностей этих случайных величин, то можно вычислить такие статистические характеристики выходного процесса, как его математическое ожидание и дисперсия. Это иллюстрируется следующими упражнениями.
Упражнение 8.2.1. Импульсная характеристика линейной системы описывается выражением
ft(0 = PexpM5/]’ t>0'
1 о, t< 0.
На входе такой системы наблюдается случайный процесс X (t) вида X (t) = Af, — оо<;/<Соо, где М—’Случайная величина, равномерно распределенная в интервале [—6, 18].
а) Запишите выражение для случайного процесса на выходе системы.
б) Определите математическое ожидание выходного сигнала.
в) Определите дисперсию выходного сигнала.
Ответы: 48/625, 6/25, Ml25.
Упражнение 8.2.2. Импульсная характеристика линейной системы описывается выражением
А(<) = / 5в(/) + 3,
{ 0 при других t.
На входе такой системы наблюдается реализация случайного процесса X (t), описываемого выражением
X (t) = 4 sin (2nt + 0), —оо < / < оо,
где 0 —случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 2л].
а) Запишите выражение для случайного процесса на выходе системы.
б) Найдите математическое ожидание процесса.
в) Вычислите дисперсию выходного процесса.
Ответы. 0; 200; 20sin (2яt + 0).
8.3. Математическое ожидание и средний квадрат сигнала на выходе линейной системы
Наиболее удобная форма интеграла свертки, связывающего недетерминированный случайный процесс X (t) на входе линейной системы, имеющей импульсную характеристику h (t), с процессом У (t) на выходе, имеет вид
оо
Г(0 = J*(f -ЦЬ (X) dl. (8.5)
о
Предпочтительность такого представления обусловлена тем, что пределы интегрирования в (8.5) не зависят от t. Используя эту форму записи, рассмотрим сначала математическое ожидание
случайного сигнала Y (t) на выходе системы, которое по определению равно
Y = E[Y(t)] = E
j X(t-X)h(h)dX
(8.6)
Следующим очевидным шагом должно быть изменение последовательности выполнения операций интегрирования и статистического усреднения, а именно внесение символа математического ожидания под знак интеграла. Прежде чем приступить к непосредственной реализации этой процедуры, необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых правомерно такое изменение порядка выполнения указанных операций.
Задача определения математического ожидания интеграла, подынтегральное выражение которого содержит случайную функцию, возникает достаточно часто. Почти во всех этих случаях желательно иметь возможность внесения операции усреднения под знак интеграла, что упрощает подынтегральное выражение. К счастью, такая процедура возможна почти во всех ситуациях, представляющих практический интерес, а поэтому она широко используется в изложении последующего материала с небольшими к ней комментариями, а иногда и без них. Следует, однако, постоянно иметь в виду условия, при которых указанная процедура оказывается возможной, даже если доводы в пользу их правомерности не совсем понятны. Эти условия могут быть определены следующим образом.
Если Z (t) — некоторый случайный процесс (или какая-либо его функция, например, квадрат этого процесса), a f (t) — какая-либо неслучайная функция времени, то
ч ч
\ Z (t) f (t) dt = j E[Z (t)]f (t) dt
при условии, что
1) j E[\Z(t)\]\f(t)\dt<oo,
2) процесс Z (t) ограничен на интервале [tu t2], где t± и t2 могут быть бесконечно большими (при этом не требуется стационарность процесса Z (t)).
При использовании этого соотношения в анализе линейных систем неслучайной функцией времени / (t) обычно является импульсная характеристика h (t). При воздействии на линейную систему стационарных в широком смысле случайных процессов величина Е [ | Z (t) | ] является постоянной, не зависящей от времени t. Следовательно, для выполнения условия 1 достаточно,
