Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Ь.
Выполняя интегрирование, имеем
[(1/р) arctg(co/p)] |” = (1/р) [(я/2) - arctg (со^р)] = я/4р,
откуда arctg(сох/Р) = п/4 и % = р.
9*
Таким образом, в нашем примере средняя мощность случайного процесса поровну распределена в пределах участков спектра частот выше (3 и ниже р. Заметим, что в данном частном случае величина р является также частотой, на которой спектральная плотность равна половине ее максимального значения, соответствующего частоте о = 0. Этот результат характерен именно для данной спектральной плотности и не является справедливым в общем случае. Например, для белого шума с ограниченным спектром (рис. 7.8) спектральная плотность сохраняет неизменным значение S0 в диапазоне частот до со = 2л W, причем половина средней мощности приходится на частоты, превышающие со = = nW.
Упражнение 7.10.1. Говорят, что случайный процесс имеет спектр Баттер-ворта я-го порядка, если его спектральная плотность имеет вид
где W — ширина спектральной плотности на уровне половинной мощности.
а) Определите ширину полосы частот, вне пределов которой спектральная плотность составляет менее 1 % ее максимального значения.
б) Для п = 1 определите ширину полосы частот, вне пределов которой сосредоточено не более 1 % средней мощности.
Ответы: 2nW (99)'/2л, 400W.
Упражнение 7.10.2. Пусть в двоичной системе связи, рассмотренной в этом разделе, используются импульсы треугольной формы. Предположим, что функция, описывающая форму этих импульсов, имеет вид
Определите ширину спектра этого сигнала, используя введенный выше критерий. Ответ'. 12,56 !tx.
7.1.1. Усеченный случайный процесс X (/) имеет вид X (t) = М при | /| < Т и равен нулю при остальных | <|, Случайная величина М равномерно распределена в интервале [—6, 18].
а) Определите математическое ожидание этого случайного процесса.
б) Найдите его преобразование Фурье.
в) Определите математическое ожидание этого преобразования Фурье.
г) Каким образом ведет себя данное преобразование Фурье при Т -*¦ оо?
7.2.1. а) Примените теорему Парсеваля для вычисления интеграла
Sx (со) = [1 + (<B/2irU7)2f,]_1,
/(<) = {
1 — | 2t/tx | при 111 < txl2,
0 при | / | > tx/2.
ЗАДАЧИ
oo
| (sin 4co/4co) (sin 8co/8co) dco.
— CO
б) Примените теорему Парсеваля для вычисления интеграла
СО
7.2.2. Спектральная плотность стационарного случайного процесса равна
f 1 — I со |/8я при | со |< 8я,
Sx (ю) = ^
(. О при других I со [.
Определите значение среднего квадрата (средней мощности) этого процесса.
7.2.3. Пусть некоторый случайный процесс со спектральной плотностью Sx (со) имеет значение среднего квадрата, равное 4. Определите значения средних квадратов случайных процессов, имеющих спектральные плотности вида
a) 4S;r (со), б) Sx (4со), в) Sx (со/4), г) 4S* (4со).
7.3.1. Для каждой нз следующих функций частоты со установить, могут ли они являться спектральными плотностями случайных процессов, если нет, то пояснить, почему
а) «,. + 3„+ !)-¦, г). ^ +-i+ , ,
01 ' Д> CI—СО»»»*/»*.
в) 10 ехр [— ©*], е) б (о) + а>3/(а>4 + О-
7.3.2. Стационарный случайный процесс описывается выражением
X (0 = М + 5 cos (10/ + 0j) + 10 sin (5/ + 02),
где М — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [—3, 9], a 0j и 02 — случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0, 2л]. Все три случайные величины М, 0j и 02 взаимно независимы. Для этого случайного процесса определите: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) спектральную плотность.
7.3.3. Спектральная плотность стационарного случайного процесса X (t) равна
Sx (ш) = 32я8 (ш) + 8л8 (ш — 6) + 8я8 (ш + 6) +
+ 32л6 (со — 12) + 32л8 (со + 12).
а) Определите математическое ожидание этого случайного процесса.
б) Определите дисперсию процесса X (t).
в) Перечислите все дискретные частотные компоненты этого случайного процесса.
7.3.4. Для случайной последовательности импульсов, показанной на рисунке, с одинаковыми вероятностями может иметь место отсутствие или наличие импульсов с периодом, равным 0,1 с. Момент начального отсчета времени t„ является случайной величиной (случайной относительно ансамбля возможных реализаций), равномерно распределенной в интервале длительностью 0,1 с. Определите для этого случайного процесса а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) спектральную плотность.
7.4.1. Спектральная плотность стационарного случайного процесса Х{ t) равна
16 (а>2 + 36)
