Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
При оценке ширины спектральной плотности могут использоваться различные критерии. В тех случаях, когда необходимо уменьшить взаимное влияние сигналов двух систем связи, целесообразно ввести в рассмотрение полосу частот, вне пределов которой уровень спектральной плотности оказывается меньше определенной доли (например, менее 1 %) ее максимального значения. Таким образом, необходимо определить о»!, удовлетворяющее соотношениям
[Sx (oj)/Sx (0)] <: 0,01, I w I > (»!•
Поскольку sin (w/i/2) не может быть больше единицы, это условие применительно к (7.68) будет выполняться, если
_____о 01
(со<л/2)* АЧХ
откуда для прямоугольного импульса % яй 20/4- Для импульса, имеющего форму «приподнятого косинуса», это условие приобретает вид
W4) [l/(<o/i/2)32 [п2/(я2 - (<o/i/2)2)]a ^ n Л,
откуда a)x aj 10,68/^. Сравнивая полученные выражения для сйц можно сделать вывод, что использование импульсов в форме «приподнятого косинуса» вместо прямоугольных импульсов приводит к уменьшению полосы частот, занимаемой сигналом, почти в два раза при условии, что эта полоса определяется по сформулированному выше критерию.
Почти все примеры рассмотренных спектральных плотностей относятся к функциям, имеющим низкочастотный спектр, т. е. максимум которых имеет место при м = 0. На практике, однако,
9 Дж. Купер
часто возникают ситуации, когда максимум спектральной плотности соответствует некоторой высокой частоте. В качестве примера на рис. 7.12 изображены типичная спектральная плотность случайного процесса, пропущенного через узкополосный фильтр, и расположение нулей и полюсов этой функции. Выражение для спектральной плотности в области комплексных частот легко получается из графика расположения нулей и полюсов:
о /„\ _ ______________________So (s) ( s)________________________ _
х— (s + а + /ю0) (s + а — /а>0) (s — а + /ю0) (s — а — /а>0) ~
----------------____________________ (7 70)
[(s + а)*+ шй К*-«)* + ®Й ’ К '
I
-ш0
а *
Рис. 7.12. а — спектральная плотность узкополосного случайного процесса, б — расположение нулей и полюсов этой спектральной плотности.
где S0 — масштабный коэффициент. Следует обратить внимание на то, что данная спектральная плотность на нулевой частоте равна нулю.
Значение среднего квадрата случайного^сигнала со спектральной плотностью (7.70) можно рассчитать любым из способов, рассмотренных в разд. 7.5. С помощью табл. 7.1 легко найти
с (s) = s, сх = 1, с„ = 0,
d (s) = s2 -j- 2as + а2 + ©о, fife = 1. d\ — 2а, cfe = а2 + ooq.
При этом соотношение между значением среднего квадрата X2 и интегралом /2 имеет вид
у2 ОГ _ С ^d0 + Cld2 _ „ (I)2 (g2 + (D2) + 0
А о 2 d„ dl d2 0 2 (a2 -f- cog) (2a) (1)
В результате мы получаем интересный вывод, заключающийся в том, что значение среднего квадрата рассматриваемого случайного процесса зависит только от параметра а, характеризующего
*-
/со
М)
—х
s-плоскость
ширину его спектральной плотности, и не зависит от центральной частоты со0.
Рассмотрим еще один пример, поясняющий физический смысл спектральной плотности, используя для этого выражение
(1/2я) | Sx(io)dco.
Данное выражение устанавливает связь между значением полного среднего квадрата случайного процесса и общей площадью, ограниченной графиком его спектральной плотности.
Значение среднего квадрата для ограниченного диапазона частот Дм = со2 — Мц аналогично связано с площадью, ограниченной графиком спектральной плотности в пределах этого частотного диапазона. Это означает, что если выбрать две частоты и со2, то в заключенном между ними диапазоне значение среднего квадрата равно
Xi<o = (1/2я)
—01 (0 f (0 2
| Sx(co)dco-|- j Sx((»)cioj = (1/я) | Sx (со) dco.
(7.71)
Последнее равенство в (7.71) справедливо в силу четности функции S;c (со) относительно со.
В качестве иллюстрации сказанного вернемся к рассмотрению спектральной плотности, определенной выражением (7.41):
5Х (со) = 2Лр/(<о2 + р2),
где А — значение полного среднего квадрата случайного процесса. Пусть требуется определить частоту, выше которой значение среднего квадрата (или средняя мощность) составляет половину его суммарной величины. Это означает, что необходимо найти такое значение сох (при ю2 = оо), для которого
И
2 Лр , 1
со2 + р» 2
-Ч
2ЛР
со2 + ft2
¦dt о
Л/2.
Поскольку А в левой и правой частях сокращаются, получим
оо
f (со2 -j- р2)-1 da = я/4р.
