Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
(0,54 -|- 0,46 cos (ят/тт), | т | <С хт,
о, м>,т. <7'61>
Это окно запаздывания, а также его преобразование Фурье (спектральное окно) иллюстрируются рис. 7.10.
При использовании этого окна оценка спектральной плотности определяется выражением
ftSx(®) — (1/2я) Wh(iо) * aSx (со),
(7.62)
Рис. 7.10. а — окно запаздывания Хэмминга, б — соответствующее спектральное окно.
но, как и выше, данная процедура свертки не может быть реализована из-за невозможности получить оценку aSx (со). Однако если использовать представление вида
Wh (*) = [0,54 + 0,46 cos (ят/тт)] wr (г),
то получим
= W7h((0) = {0,546 (со) + 0,23 [6 (со + я/гт) +
+ 6 (со — Я/Тт)]} * Wт (со),
так как неусеченная постоянная и косинусный член окна Хэмминга имеют преобразования Фурье в виде S-функций. Подстановка этого результата в (7.62) и использование (7.59) дают
h,Sx (®) = 0,54г5х (со) 0,23 [rSjr (со -|- п/хт) -)- rSx (со — я/тт)).
(7.63)
Поскольку TSX (со) можно определить с помощью (7.60), оказывается, что (7.63) представляет собой модифицированную форму
функции rSx (to), что обеспечивает положительную величину результирующей оценки.
В разд. 6.4. при рассмотрении вопросов, связанных с оценкой корреляционных функций, было отмечено, что в большинстве практических ситуаций выборка отсчетных значений xk наблюдаемой реализации л: (t) должна осуществляться в дискретные моменты времени th = О, At, 2 At, ..., N At, а результирующая оценка формируется путем суммирования произведений
N—n
Rx (п Д t) = (N-n + l)-1 S xkxh+n, п = 0, 1-------М. (7.64)
k=0
Так как корреляционная функция оценивается только для дискретных моментов т, необходимо выполнить дискретную аппроксимацию преобразования Фурье. Хотя существуют методы, реализующие эту процедуру и уменьшающие требуемый объем машинного времени при выполнении расчетов на ЭВМ (быстрое преобразование Фурье), представляется целесообразным рассмотреть дискретный вариант соотношения (7.42), являющийся косинусной компонентой преобразования Фурье корреляционной функции. Таким образом, при использовании прямоугольного окна оценка спектральной плотности равна
М—1
rSx(qAw) = At
Ях(0) + 2 2 Rx(n At) cos (qnn/M)
-j- Rx(M&t) cos^itj, (7.65)
где q = 0, 1, 2, ..., M, Aco = n/M At. При использовании окна Хэмминга соответствующая оценка имеет вид
hSx (<7 А®) = 0,54rS* (<7 A to) —[— 0,23 {rSx [(<7 —f— 1) Аш] —f-
-bSxlfa-OAffl]}. (7.66)
что представляет собой окончательный результат. Программа расчета на ЭВМ оценки спектральной плотности при использовании окна Хэмминга дается в приложении Ж-
Чтобы проиллюстрировать описанный метод вычисления оценки спектральной плотности, предположим, что мы имеем оценку корреляционной функции эргодического случайного процесса, определенную в соответствии с (7.64) при М = 5 и Дt= 0,01. Пусть соответствующие оценочные значения корреляционной функции оказались равными
п 0 12 3 4 5
Rx (п Д<) 10 8 6 4 2 0
Для принятых М и А( частотный разнос между оценочными значениями 'спектральной плотности равен
Лю = л/(М At) = п/5-0,01 = 20я рад/с.
Используя оценочные значения корреляционной функции, с помощью (7.65) можем записать выражение для оценки спектральной плотности применительно к прямоугольному окну:
rSx (<7 Лео) = 0,01 [10 2 (8 cos (qn/5) \ 6cos(2^rc/5) )
+ 4 cos (З^я/5) + 2 cos (4^я/5)].
Это выражение может быть рассчитано для значений q, изменяющихся от 0 до 5, а результирующая оценка спектральной плотности для прямоугольного окна равна
д 0 1 2 3 4 5
r'Sx (д Дш) 0,5 0,2094 0 0,0306 0 0,020
Подставляя эти значения в (7.66), получим оценки спектральной плотности с окном Хэмминга. Окончательные значения оказываются равными
q 0 12 3 4 5
hS.T {q А») 0,3664 0,2281 0,0552 0,0165 0,0116 0,0108
Хотя длительность реализации (соответственно и объем выборки), для которой была определена корреляционная функция, невелика, данный пример иллюстрирует методику применения окна Хэмминга и поясняет принцип сглаживания оценки спектральной плотности при использовании этого окна.
Было предложено много других типов окон для оценки спектральной плотности, и некоторые из них дают более точные результаты, чем окно Хэмминга, хотя их применение может и не быть столь простым при решении конкретных задач. Например, окно Бартлетта, имеющее вид равнобедренного треугольника, непосредственно может использоваться для оценки корреляционной функции, однако для оценки спектральной плотности при этом требуется реализация процедуры свертки. Другим хорошо известным окном является «хэннинг-окно», представляющее собой модифицированный вариант окна Хэмминга. Оба эти типа окон рассматриваются ниже в упражнениях и задачах.
