Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Sx (®) -- [ Л ехр [fk]exp [— /сот] dx f
—ОО
оо
-f- J А ехр [— Рт] ехр [— /сот] dx = о
= А {ехр [(р — /со) т]/(р — /са)\ |!L» +
+ А {ехр [— (р + /со) т]/[— (р + /со)]} |" =
= Л[1/(Р~ /со) + 1/(р -f /со)] = 2Лр/(со2 + р2). (7.41) Данная спектральная плотность изображена на рис. 11,6
Как было отмечено выше, для стационарных случайных процессов по данной спектральной плотности с использованием обратного преобразования Фурье можно однозначно определить корреляционную функцию, а именно
оо
Rx (т) = (1/2я) j Sx (со) ехр [/coT]dco. (7.42)
—СО
Соответствующий пример будет приведен в следующем разделе.
При выводе формулы (7.41) из-за особенностей подынтегральной функции при т = 0 интеграл был представлен в виде двух слагаемых. Принципиально иная процедура, пригодная в любых случаях, заключается в использовании свойства симметрии корреляционной функции. При этом (7.40) можно записать в виде
СО
Sx (®) = j Rx (t) [cos cot — / sin cot] dr,
—CO
где экспоненциальная функция exp [—j сот] выражена через синусную и косинусную составляющие. Можно заметить, что функция Rx (т) sin сот —• нечетная относительно со и интеграл от нее в симметричных пределах будет равен нулю, а функция Rx (т) cos сот — четная и интеграл от нее в пределах от —эо до оо будет равен удвоенному интегралу в пределах от 0 до оо. Следовательно,
ОО
Sx (w) = 2 | Rx (T) cos cox dr, (7.43)
о
что является еще одним представлением спектральной плотности через корреляционную функцию, причем не требующим включения точки т = 0 в область интегрирования. Легко показать, что для стационарных в широком смысле случайных процессов формула, соответствующая обратному преобразованию Фурье, имеет вид
оо
Rx (т) = (1/я) j Sx (со) cos сот du>. (7.44)
о
Выше отмечалось, что взаимосвязь между спектральной плотностью и корреляционной функцией можно также выразить через преобразование Лапласа. Однако необходимо помнить, что для применения преобразования Лапласа, которое чаще всего используется при анализе систем, необходимо, чтобы функция, подвергаемая этому преобразованию, была равна нулю для отрицательных значений времени. Однако корреляционные функции стионарных случайных процессов никогда не могут быть рав-
ными нулю при отрицательных т вследствие их четности относительно своего аргумента. Следовательно, в данных ситуациях необходимо использовать двустороннее преобразование Лапласа. Пара соответствующих преобразований может быть представлена в виде
оо
Sjr(s)= j Rx{x)exp[— sx]dx, (7.45)
—'ОО
/оо
Rx (т) = (1/2я/) J Sx (S) ехр [ST] ds. (7.46)
-—/со
Так как спектральная плотность случайного процесса с конечным значением среднего квадрата не может иметь полюсов на оси /ю, контур интегрирования в соответствии с (7.46) будет всегда лежать на оси /ю.
Прямое двустороннее преобразование Лапласа, позволяющее получить спектральную плотность случайного процесса по его корреляционной функции, не отличается от обычного одностороннего преобразования Лапласа и не требует особых комментариев. Однако обратное двустороннее преобразование Лапласа требует несколько большей корректности в его применении, поэтому целесообразно привести простой пример использования данной процедуры.
Рассмотрим спектральную плотность, определенную в соответствии с (7.41), и представим ее как функцию аргумента s:
о /о\__________2Лр __________________2Лр_
bxW s*_p* (s + p)(s_p)-
Эта функция имеет один полюс в левой полуплоскости и один —
в правой полуплоскости. Вследствие свойства симметрии спектральной плотности количество полюсов в обеих полуплоскостях всегда одинаково. Приведенное выше выражение можно представить в виде суммы простых дробей:
Обратное преобразование Лапласа составляющих Sx (ю), содержащих полюсы в левой полуплоскости, для любого ее разложения на простые дроби представляет собой временную функцию, существующую только для положительных значений времени. Следовательно, в данном случае обратное преобразование Лапласа для первого из членов вышеприведенного разложения функции Sx (s) можно интерпретировать как
A/(s + Р) <->¦ А ехр [—рт] для т >» О,
Для вычисления значений корреляционной функции при отрицательных т можно использовать свойство ее четности. Однако целесообразно рассмотреть более общий метод, пригодный также и для взаимных корреляционных функций, для которых свойство симметрии не выполняется. Для составляющих, входящих в разложение Sx (s) на простые дроби, которые содержат полюсы в правой полуплоскости, всегда можно а) заменить s на —s,
