Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
где с (s) содержит нули левой полуплоскости, с (—s) — нули правой полуплоскости, d (s) и d (—s) — соответственно полюсы левой и правой полуплоскостей.
Если в соотношении (7.11) при выполнении интегрирования вместо вещественной переменной использовать комплексную переменную s, то значение среднего квадрата становится равным
/оо /оо
Х» = К1/2я/) j Sx (s) ds = (1 /2л/) j (7.30)
—/ oo — / со
В частном случае рациональных спектральных плотностей функции с (s) и d (s) являются полиномами относительно s и могут быть записаны в виде
с (s) = cn_1sn~1 -f- cn_2sn~2 -j- • • • -j- c0,
d (s) — dnsn -)- dn.xs"-1 -J- • • • d0.
Некоторые коэффициенты полинома с (s) могут равняться нулю; d (s) должен иметь степень более высокого порядка, чем с (s), и не должен иметь недостающих коэффициентов.
Интегралы вида (7.30) табулированы для значений л вплоть до 10, хотя уже при п, превышающих 3 или 4, результаты оказываются столь сложными, что их достоверность вызывает сомнение. Соответствующие табулированные интегралы в сокращенном виде приведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Таблица интегралов
/со
= J -i%i\-tds
-/со
с (s) = cn_xs" 1 + cn_2sn 2 + • • • + Cq d (s) = dnsn -f- dn_1sn 1 + • • ¦ +
/ _ °o 1 2d0d,
j __ c\dp -f- СЫ>
'2 ~ 2d&d,
_ c|4A -f- (c‘| — 2c0c2) dgd3 -f- c^d^da
2c/q^3 (did:y — dbd:i)
В качестве примера такого расчета рассмотрим спектральную плотность вида
с /,,\ <о2 + 4
х ^ ~ оз4+ 10оз2 + 9 *
В результате замены со на —js получаем
С /с^ ___ (S2 4) __ (S2 4) g 1 \
oxw S4_i0S2 + 9 (sa — i)(s2 — 9) *
Это выражение можно представить в виде произведения сомножителей
с _________________(s + 2) (— s -f 2)______ 094
(s) - {s + 1) (s + 3) (- s + 1) (_ s + 3)’ V'6l>
откуда следует, что
с (s) = s + 2,
d (s) = (s + 1) (s + 3) = s2 + 4s + 3.
Мы имеем случай n = 2; при этом сх = 1, с0 = 2, d% = 1, d± = 4, d0 — 3. В соответствии с табл. 7.1 интеграл /2 равен
c\dQ + cgrf2 (l)2 (3) + (2)2(1) _____3 + 4____ 7
2 (3) (4) (1) 24 24
Поскольку X2 = /2, имеем X2 = 7/24. Этот расчет выполняется чисто механически и не требует глубоких теоретических знаний. Однако при использовании этих процедур должен выполняться ряд условий, на что обращается внимание читателя. Во-первых, как было отмечено выше, степень полинома d (s) должна превышать степень с (s). Во-вторых, корни с (s) и d (s) должны располагаться только в левой полуплоскости. И в-третьих, необходимо, чтобы корни d (s) не лежали на оси /со.
В рассмотренном примере спектральная плотность является рациональной и, следовательно, не содержит S-функций. Таким образом, случайный процесс, который описывает данная спектральная плотность, имеет нулевое математическое ожидание, а значит, значение его среднего квадрата равно дисперсии. Тем не менее на практике часто встречаются случаи, когда непрерывная составляющая спектральной плотности выражается рациональной дробью, но наряду с ней существуют и дискретные составляющие, наличие которых обусловлено компонентами с ненулевыми математическими ожиданиями или периодическими компонентами. В таких случаях при определении среднего квадрата случайного процесса необходимо осуществлять раздельный анализ непрерывной и дискретной компонент спектральной плотности. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть спектральная плотность описывается выражением
Sx (ю) -- 8яб (со) + Збяб (ю — 16) +
+ Збяб (to + 16) + 25 (со2 + 16)/(со4 + 34со2 + 225),
Из рассмотрения материала разд. 7.3 и уравнения (7.24) следует, что составляющая среднего квадрата, обусловленная дискретными компонентами, равна
Ха = (1/2 я) (8jx + Збзх -f- 36я) = 40.
Заметим, что это значение включает в себя и математическое ожидание ±2. Непрерывная составляющая спектральной плотности может быть выражена как функция аргумента s в виде
9 и\ 25 (-8«+16)
^хс W — s4 — 34s2 + 225 »
или в форме произведения сомножителей
Sx ф___________[5 (а+ 4)] [5 (-5 4 4)]___
[(« 4 3) (s 4 5)] [(- « 4 3) (- s 4 Б)] •
Теперь ясно, что
с (s) = 5 (s + 4) = 5s + 20,
откуда с0 - 20, а сх ¦= 5. Также имеем
