Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Формально переход к плоскости комплексных частот выполняется заменой со на —js, или со2 на —s2. В результате спектральная плотность должна обозначаться как Sx (—js), однако такое обозначение нельзя признать удачным. Поэтому спектральная плотность на s-плоскости будет обозначаться просто как Sx (s). Очевидно, что Sx (s) и Sx (со) — несколько различающиеся функции, так что соответствующие представления являются скорее символическими, нежели принципиальными.
Для частного случая рациональных спектральных плотностей, когда присутствуют только четные степени частоты со, такая замена переменных эквивалентна подстановке —s2 вместо со2. Например, рассмотрим рациональную спектральную плотность
Если выразить эту функцию через аргумент s, то получим
Sx (со) = Sx (— js) = 24 • (7-27)
Любая спектральная плотность может быть представлена (за исключением коэффициента пропорциональности) в виде сочетания нулей и полюсов в плоскости комплексных частот. Такоз представление часто оказывается удобным для некоторых вычислений, которые будут рассмотрены в следующих разделах. Для иллюстрации сказанного рассмотрим спектральную плотность
(7.27), которая может быть представлена в виде произведения сомножителей
о ___________ '0(s-f~ V/'5)(s — Vb)
(s + 2) (s — 2) (s + JA(T) (s — ]Лб")
j и
Ч О ~Н"
С <м о 2 VE Уб
1
) Ijfl
:1>
1
Рис. 7.4. Изображение нулей (кружки) и полюсов (крестики) спектральной
плотности.
и для которой сочетание нулей и полюсов иллюстрируется рис. 7.4. Важной особенностью данного геометрического представления является его симметрия относительно оси /со. Если спектральная плотность не является рациональной, справедлива та же самая замена переменных, которая, правда, может быть и не столь явной. Например, спектральная плотность (7.25) может быть выражена в плоскости комплексных частот в виде
Sx(s) = F(s)F(—s) (сту/7[ +[2я(К)2/^] S б (s —/2яп/^)],
(. п=—га j
(7.28)
где F (s) — преобразование Лапласа огибающей элементарного импульса f (4-
Помимо того что использование комплексных частот облегчает анализ систем с помощью спектральных плотностей, при этом упрощается вычисление значений средних квадратов случайных процессов. Соответствующие прикладные вопросы рассматриваются в следующем разделе.
Упражнение 7.4.1. Стационарный случайный процесс имеет спектральную плотность вида
25 (о2 + 16)
Определить положение полюсов и нулей этой спектральной плотности в плоскости комплексных частот.
Ответы-. ±3, ±4, ±5.
Упражнение 7.4.2. Стационарный случайный процесс X (t) имеет спектральную плотность вида
р , , со2 (со2 + 25)
х ((й' ~ со8 — ЗЗсо4 + 463C02 + 7569 *
а) Доказать, что эта спектральная плотность положительна для всех значений оз.
б) Определить положение полюсов и иулей этой спектральной плотности в плоскости комплексных частот.
Ответы-. 0, ±3, ±5, ±2, ±/5.
7.5. Взаимосвязь среднего квадрата случайного процесса со спектральной плотностью
В процессе определения спектральной плотности было показано, что средний квадрат случайного процесса равен
00
;Г2 = (1/2я) js^Hdco, (7.11)
—оо
т. е. средний квадрат пропорционален площади, ограниченной функцией спектральной плотности.
Вычисление интеграла вида (7.11) может быть сопряжено со значительными трудностями, если спектральная плотность является сложным аналитическим выражением или содержит высокие степени аргумента со. Классический подход к выполнению такого интегрирования заключается в замене переменной интегрирования на комплексную переменную (подстановкой s вместо /ш) и использовании ряда теорем, касающихся правил интегрирования по замкнутому контуру в комплексной плоскости. По-видимому, это наиболее простой и результативный способ вычисления среднего квадрата случайного процесса, требующий, однако, владения аппаратом теории функции комплексной переменной. Методика применения соответствующих вычислительных процедур для заинтересованных в указанном методе дается в конце раздела.
Другим методом, который мы рассмотрим в первую очередь, является применение ряда табулированных функций для рациональных спектральных плотностей. Эти табулированные функции в общем виде представляют собой полиномы разных степеней, а их использование заключается в простой подстановке соответствующих чисел. Существование таких функций обусловлено в первую очередь симметрией спектральной плотности. Вследствие этой симметрии всегда представляется возможность выразить рациональную спектральную плотность в виде сомножителей
