Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
(sin соТ/со71) = 1, и соответствующий предел равен бесконечности. Следовательно, можем записать
Пт Т = КЬ (со), (7.21)
где К — относительная высота S-функции, которая выше не была определена. Значение К можно найти приравниванием площадей, ограниченных функциями, стоящими в правой и левой частях выражения (7.21):
СО 00
lim j* Т ~= j-K8(co)dco. (7.22)
Интеграл в левой части является табулированным и равен я для всех значений Т >• 0. Следовательно, предельный переход становится очевидным, и из (7.22) получаем К = п.
Аналогичная процедура может быть использована для других слагаемых соотношения (7.20). Предоставляем это читателю в качестве упражнения. Окончательный результат должен быть равен
S.v (ю) = 2пАЧ (со) + (я/2) ВЧ (со — сох) + (я/2) В2б (со + <о,).
(7.23)
Эта спектральная плотность изображена на рис. 7.1.
SX(w)
А
2 7гА2
У V
”¦ oj j 0 со j
Рис. 7.1. Спектральная плотность постоянной составляющей и синусоидальной компоненты.
Представляет интерес определить площадь под кривой спектральной плотности, чтобы убедиться в том, что выражение (7.23) действительно дает значение среднего квадрата случайного процесса. В соответствии с (7.11) имеем
со
Y2 - = (1/2л) | [2яЛ26 (со) + (я/2) В2б (со - Ml) +
— 00
-f- (я/2) В28 (со -f- сох)] dco = (1/2я) [2лЛа + (я/2) fia-f-(jt/2) Ва] =
= А2 + В212. (7.24)
Нетрудно убедиться, что тот же самый результат может быть получен путем усреднения функции X2 (t) по ансамблю реализаций.
|Следующий числовой пример будет служить иллюстрацией дискретной спектральной плотности. Предположим, что имеется стационарный случайный процесс вида
X (0 = 5 + Ю sin (6t + Qi) + 8 cos (12/ + 62),
где 0X и 02 — независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0, 2я]. Заметим, что, так как фазы равномерно распределены в пределах 2я радиан, отсутствуют различия между синусной и косинусной составляющими, к которым применимы полученные выше результаты. Это было бы не-
8 Дж. Купер
правомерно, если бы фазы не были равномерно распределены в этом интервале. В силу (7.23) можем сразу записать выражение для спектральной плотности этого процесса:
Sx (со) = 2я526 (со) + (я/2) 102б (ю — 6) +
+ (я/2) 1028 (ш + 6) + (я/2) 82б (со — 12) +
+ (п/2) 826 (<а + 12) = я [506 (со) + 506 (со — 6) +
+ 506 (со 1- 6) |- 326 (со — 12) + 326 (со + 12)1.
Из (7.24) нетрудно вычислить значение среднего квадрата данного случайного процесса:
Рис. 7.2. Последовательность импульсов со случайными амплитудами.
Из приведенного примера ясно, что определение спектральной плотности и среднего квадрата случайного процесса, содержащего гармонические компоненты, представляет собой несложную процедуру.
Возможно также существование спектральных плотностей, содержащих как непрерывную, так и дискретную компоненты. Соответствующие примеры часто возникают в системах связи или в системах дискретного (прерывистого) управления в случае, если реализация х (t) случайного сигнала представляет собой последовательность импульсов со случайными амплитудами (рис. 7.2). В данном случае предполагается, что все импульсы имеют одинаковую форму, а их амплитуды являются случайными величинами, статистически независимыми от импульса к импульсу. Полагается, что эти случайные величины (амплитуды) имеют одинаковые математические ожидания Y и равные дисперсии Оу. Период повторения импульсов неизменен и равен tlt а момент взятия отсчета t0 для какой-либо реализации является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале длительностью tv
Полный вывод выражения для спектральной плотности достаточно трудоемок и поэтому здесь не приводится, однако окон-
X2 = 52 + (1/2) 10® + (1/2) 82 = 107.
x(t)
чательный результат имеет несколько интересных осооенностей Этот результат получается вследствие применения преобразования Фурье F (со) к импульсу, описываемому функцией / (t), и имеет вид
Sx (со) = | F (со) |2
Gy/ti + (2я (Yf/tf) 2 б (со - 2Jtrt//i)
(7.25)
Если импульс имеет прямоугольную форму, а его длительность равна t2, то соответствующая спектральная плотность будет иметь вид, изображенный на рис. 7.3. Из выражения (7.25) можно сделать следующие выводы общего характера:
Рис. 7.3. Спектральная илошость последовательности прямоугольных импульсов со случайными амплитудами.
1. Как непрерывная составляющая спектра, так и его дискретные компоненты (их интенсивность определяется относительной высотой 6-функций) пропорциональны квадрату модуля преоб-разопапии Фурье огибающей элементарного импульса.
