Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
со
\\XT(t)\2dt<oo. (7.4)
—00
Это условие будет использоваться в дальнейшем изложении.
Преобразование Фурье для функции Хт (t) имеет вид:
со
Рх((Л)= J Хт (0 ехр [—joat] dt, Т < оо. <—00
В конечном итоге следует перейти к пределу Т -> оо. Целью дальнейшего рассмотрения является доказательство того, что математическое ожидание величины | Fх (со) |2 существует в этом пределе, даже если не существует Fx (®) для какой-либо реализации случайного процесса. Первый этап этогст доказательства состоит в применении теоремы, или равенства Парсеваля к функциям Хт (t) и Fx (ю) *). Тогда с учетом того, что Хт (t) -= О при I11 <J Т, получим
Т со
j х\ (t) dt = (1/2я) J | Fx (со) |2 dco. (7.6)
—Т —оо
Следует заметить, что | Fx (со) |2 = Fx (со) Fx (—со), так как Fx (—ю) — величина, комплексно-сопряженная с FT (со) для Хт (t), являющейся вещественной функцией времени.
Поскольку искомая величина характеризует распределение средней мощности по частоте, на следующем этапе необходимо усреднить обе части (7.6) на интервале времени длительностью 2Т. Разделив обе части выражения (7.6) на 2Т, получим
Т оо
(1/27’) |*!(*)Я = (1/4лГ) J | Fх (®) |2^а- (7.7)
—Г —'СО
Очевидно, что левая часть выражения (7.7) пропорциональна средней мощности на интервале времени от —Т до Т. Точнее, она представляет собой квадрат эффективного значения функции Хт (t). Кроме того, для эргодического процесса при Т -> оо эта величина приближается к значению среднего квадрата случайного процесса X (t).
Однако на данном этапе еще нельзя устремить Т -> оо, так как Fx (со) не существует в этом пределе. При этом необходимо напомнить, что Fx (со) является случайной относительно ансамбля реализаций случайного процесса X (t). Естественно предположить (и это может быть строго доказано), что предел математического ожидания величины (1/Т) | Fx (со) |2 существует, так как существует интеграл от этой «всюду положительной» функции, как это следует из (7.4). Тогда, выполнив усреднение обеих частей выра-
х) Теорема Парсеваля гласит, что если f (t) н g (/), являющиеся функциями времени, имеют преобразования Фурье F (ш) и G (со) соответственно, то справедливо равенство
00 00
J /(<) в (0* = (*/2я) Jf(co)0(—C0)d<D.
— 00 “СО
жения (7.7), внося при этом знак математического ожидания под знак интеграла и переходя к пределу при 7 -* оо, получим г
?{(1/27) jx2r(0^] = ?{(l/4nT) J | F% (со) |2dco|,
Т со
lira (1/27) jY2dt = lira (1/4я7) j ? {| Fx (со) |2} da, (7.8)
7-vcd _j T-*¦ со ______________________да
00
(X2) = (1/2я) f lim ? {1 F*r(<D) |2}- dco.
J Т-*¦ со
Т-—со
Для стационарного случайного процесса усредненный по времени средний квадрат случайной функции равен самому среднему квадрату, поэтому (7.8) можно записать в виде
00
X2 — (1/2я) Г lim ?П^(а>)Н (7 9)
¦J Т-* со
— со
Подынтегральное выражение в правой части (7,9), которое будем обозначать Sx (со), называется спектральной плотностью случайного процесса
Sx И = lim (7.10)
Т-+Со
Еще раз следует напомнить, что только после выполнения операции усреднения по множеству реализаций справедлив переход к пределу Т оо. Если X (() — напряжение, то Sx (со) имеет размерность [В2/Гц|, а интеграл от Sx (со) в соответствии с (7.9) определяет средний квадрат этого напряжения, т. е.
со
Х~2^(1/2л) jsT(w)dw. (7.11)
— СО
Более наглядная физическая интерпретация спектральной плотности может быть дана путем анализа средней мощности. Если X (0 — флуктуацнонное напряжение или ток, протекающий через резистор сопротивлением 1 Ом, то X2 есть средняя мощность, рассеиваемая этим резистором. Спектральную плотность можно интерпретировать как среднюю мощность, сосредоточенную в пределах полосы частот шириной 1 Гц при центральной частоте спектра, равной (со/2я) Гц. [Отметим, что единицей измерения частоты является герц, т. е. один цикл, или одно колебание в секунду, а не радиан в секунду, что обусловлено коэффициентов
1/2я перед интегралом в (7.11).] Вследствие того что существует однозначная взаимосвязь между спектральной плотностью и средней мощностью случайного процесса, спектральную плотность часто называют спектром плотности мощности.
