Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
f(t) = S (t) + пг (О,
где сигнал s (i) и шум пх (t) являются реализацями соответствующих независимых случайных процессов. Сигнал датчика, расположенного на задней оси, описывается выражением
(0 = S (t — Tj) + пг (0,
где п2 (7) — шум, не связанный ни с s (f), нн с iij (t). Все указанные процессы являются центрированными. Запаздывание Т] зависит от разнесения датчиков и скорости подвижного объекта.
а) Получите соотношение между запаздыванием и скоростью движения объекта v, полагая, что датчики разнесены на 5 м.
б) Нарисуйте структурную схему устройства, пригодного для измерения скорости подвижного объекта в диапазоне от 5 до 50 м/с. Определите максимальное н минимальное значения задержки, необходимые при использовании аналогового коррелятора.
в) Почему существует минимальное значение скорости, которое можно измерить таким способом?
г) Какова максимальная скорость, которую можно измерить цифровым коррелятором, если входные сигналы дискретизируются с частотой 12 Гц?
6.8.4. Угловые размеры звезды можно измерить путем формирования взаимных корреляционных функций сигналов, поступающих с выходов двух сильно разнесенных антенных систем, и измерения временной задержки, соответствую-
ho
Ч'
r»v-'
/ <г
К
s(# - г,) + пгЦ) sit) + nx(t)
Ur-D-Н
щей максимуму взаимной корреляционной функции. Геометрия системы показана на рисунке. В такой системе номинальное расстояние между антеннами равно 500 м, а среднее квадратическое его отклонение — 0,01 м. Требуется измерить угол 0 со средним квадратическим отклонением не более 0,001 рад для всех 0, лежащих в интервале от 0 до 1,4 рад. Найдите ограничение сверху, накладываемое на среднее квадратическое отклонение измеряемой задержки для удовлетворения поставленному условию. Указание-, для линеаризации соотношения используйте полный дифференциал.
6.9.1. Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса равна
Rx Сс) = 36 ехр [—2 | т |] cos ят.
Сам процесс периодически дискретизируется с интервалом 0,5 с. Напишите выражение ковариационной матрицы для четырех последовательно взятых выборок нз этого процесса.
6.9.2. Случайный вектор гауссовского распределения имеет вид
X =
Его ковариационная матрица
Л =
равна
1 0,5 0
0,5 1 0,5
0 0,5 1
Определите математическое ожидание Е [ X 7Л_ 1X ].
6.9.3. Трансверсальный фильтр представляет собой линию задержки с отводами; сигналы с различных отводов суммируются в определенном весовом соотношении, как показано на рисунке.
Если задержку между соседними выводами обозначить At, то сигналы на отводах линии задержки можно описать вектором
~х (о
X (/) = Х V ~
_Х (t — NAt)_
Аналогично, веса, соответствующие различным отводам, могут быть представлены вектором
а0 «1
,aN .
а) Напишите выражение для сигнала Y (/) на выходе трансверсального фильтра, пользуясь обозначениями векторов X (t) и а.
б) Пусть X (t) — стационарный случайный процесс с автокорреляционной функцией Rx (х). Напишите выражение для автокорреляционной функции Ry (т) выходного сигнала У (t).
6.9.4. Пусть автокорреляционная функция сигнала, действующего на входе трансверсального фильтра из задачи 6.9.3, имеет вид
Rx (V = •{ п
(. О при других т.
а) Полагая, что трансвер сальный фильтр имеет 4 вывода (т. е. N = 3) и вес каждого вывода а* = 1 для всех г, определите и изобразите автокорреляционную функцию выходного сигнала.
б) Повторите задачу п. а, полагая вес а; — 4 — i, где i = 0, 1,2, 3.
ЛИТЕРАТУРА
См. литературу к гл. 1. Особый интерес по теме этой главы представляют книги [3, 6, 8].
Спектральная плотность
7.1. Введение
При анализе различных линейных систем широко применяются преобразования Фурье и Лапласа, позволяющие достаточно просто выполнять необходимые вычисления. Основная причина данного упрощения заключается в замене процедуры свертки, используемой при анализе систем во временной области, на обычную операцию умножения частотных характеристик и функций, используемых при анализе в частотной области.
Ввиду широкого использования методов анализа в частотной области возникает естественный вопрос: рациональны ли эти методы при наличии на входе системы случайных воздействий? Ответ на этот вопрос оказывается положительным с той поправкой, что соответствующие соотношения должны быть несколько видоизменены, а их использование должно быть достаточно корректным с математической точки зрения. Тем не менее даже с учетом этих поправок корректное применение методов частотного анализа при воздействии на линейные системы случайных сигналов позволяет получить те же преимущества, что и для случая воздействия детерминированных сигналов.
