Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ
6.1.1. Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса X (t) имеет вид Rx (т) = 5 ехр [—5 |т|]. Другой случайный процесс определяется как
У (0 = X(f)+bX(t — 0,1).
а) Найдите значение Ь, при котором средний квадрат случайного процесса У {() минимален.
б) Найдите минимум среднего квадрата случайного процесса У (/).
в) Для | b | ^ 1 найдите максимальное значение среднего квадрата случайного процесса У (t).
6.1.2. Для каждой из нижеприведенных автокорреляционных функций укажите, может ли процесс, которому соответствует данная функция, быть стационарным в широком смысле.
а) Rx (h, t2) = ехр (tt —12),
б) Rx Vi, tz> = cos h cos h + sin h sin h.
в) %х ^) = exP(<i — й)-
г) Rx (fi, t-i) = (sin tj cos i2 — cos t1 sin — t2).
6.2.1. Рассмотрите стационарный случайный процесс X (t), реализация х (t) которого представлена на рисунке. Прямоугольный импульс единичной амплитуды длительностью 7\ может с одинаковой вероятностью появиться или не появиться в равноотстоящие друг от друга моменты времени /0 ± пТ, причем появление импульса в каком-либо интервале [ta + (п—1) Т, пТ)] не
зависит от его существования на любом из предшествующих интервалов. Момент t0 — случайная величина, равномерно распределенная по периоду Т, и Тг ^ Т/2.
*~Ti
to + Т
*о + гт
а) Найдите математическое ожидание и средний квадрат случайного процесса X (I).
б) Найдите автокорреляционную функцию этого процесса.
6.2.2. Определите временную автокорреляционную функцию реализации из задачи 6.2.1.
6.2.3. Пусть реализации стационарного случайного процесса X (t) определяются формулой
ОО
*(0= Е AnS (i — t о — пТ),
п=—оо
где Ап — независимые случайные величины, с равной вероятностью принимающие значения +1 или —1, a t0 — случайная величина, равномерно распределенная по периоду Т. Определите функцию
ОО
б(т)= j g(t)g(t + x)dt
—'СО
и выразите через нее автокорреляционную функцию процесса X {/).
6.3.1. Какие из приведенных на рисунке функций не могут быть автокорреляционными функциями? Объясните, почему.
6.3.2. Реализации случайного процесса X (/) описываются как х (t) = = Y cos (diat + 0), где К, (о0 и 0 —статистически независимые случайные величины. Пусть математическое ожидание Y равно 3, дисперсия а2 = 9, 0 — равномерно распределено между —я и я, а со0 — между —6 и +6.
а) Стационарен ли этот случайный процесс? Является ли он эргодическим?
б) Определите математическое ожидание и средний квадрат этого процесса.
в) Определите автокорреляционную функцию процесса X (t).
6.3.3. Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса X (t) имеет вид
Rx (т) = 100 ехр (—т2) cos 2ят + 10 cos бят + 36.
а) Определите математическое ожидание, средний квадрат и дисперсию этого процесса.
б) Какие дискретные частотные компоненты присутствуют в этом процессе?
в) Найдите минимальное т, при котором случайные величины X = X (t) и Хх = X (t + т) некоррелированы.
6.3.4. Пусть функция от т имеет вид
-|т|/2 прн |т О при |т|
V(x)
-Г
<Т,
> т.
Выполните преобразование Фурье для этой функции и докажите, что результатом этого является автокорреляционная функция, реальная только при Т = 2.
6.4.1. Выборки Xk = x(tk) стационарного случайного процесса X (t) производятся в моменты времени {ц, разделенные интервалом 0,01 с. Значения выборок следующие:
к хк к хк к *к
0 0,19 7 ---1,24 14 1,45
1 0,29 8 ---1,88 15 ---0,82
2 1,44 9 ---0,31 16 ---0,25
3 0,83 10 1,18 17 0,23
4 ---0,01 11 1,70 18 ---0,91
5 --- 1,23 12 0,57 19 ---0,19
6 ---1,47 13 0,95 20 0,24
а) Найдите математическое ожидание реализации.
б) Найдите оценочную автокорреляционную функцию R (0,01 п) при п = = 0, 1, 2, 3, используя уравнение (6.15).
в) Решите задачу п. б, используя уравнение (6.16).
6.4.2. а) Для данных задачи 6.4.1 определите верхний предел дисперсии оценочной автокорреляционной функции, пользуясь приближенными значе» ниямн, найденными при решении 6.4.16.
б) Решите задачу п. а, пользуясь значениями, найденными при решении задачи 6.4.1 в.
6.4.3. Пусть действительная автокорреляционная функция случайного процесса, которому соответствуют данные задачи 6.4.1, имеет вид
