Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
СТ1СТ2Р12 • • • ai°jviPjv
• • • 0-20nP‘IN
a2°lP21
2
02
aNaiPm °№гРт
(Тдг
При построении этой матрицы учтено, что pj; = 1 при i .... N. Обобщая (6.49), легко показать, что
Ах = Rx - ХХГ.
(6.49)
= 1, 2,...
(6.50)
Если случайный процесс центрирован, то Лх = Rx-
Понятие ковариационной матрицы пригодно как для стационарных, так и нестационарных случайных процессов. Однако для случайного процесса, стационарного в широком смысле, все дисперсии и корреляционные коэффициенты на любой диагонали одинаковы. Следовательно,
2 2 = ст2, i, / = 1, 2, . • • , N,
ос = а,
Ра = Pi t-i |, i, j =~- 1, 2, . . . , N,
• ~ 1 Pi P2 Pn-i
Pi 1 Pi PiV---2
Лх -ста Р2 Pi 1 Pi
_Рлг-1 ...... 1 Pi
Pi 1
(6.51)
Такая матрица называется матрицей Теплица.
Для иллюстрации рассмотрим некоторый стационарный случайный процесс X (0, автокорреляционная функция которого равна
Я*(т) = Юехр (—Ы) + 9. (6.52)
Для упрощения предположим, что следует учитывать три случайные величины, разделенные интервалом At — 1, т. е. N = 3, At = 1. Расчет автокорреляционной функции по формуле (6.52)
для т — О, 1 и 2 дает значения, необходимые для составления корреляционной матрицы. Следовательно, ее вид таков
19 12,68 10,35'
12,68 19 12,68
10,35 12,68 19
Поскольку дисперсия этого процесса равна 10, а его математическое ожидание X = ±3, ковариационная матрица имеет вид
-1 0,368 0,135'
Ах = 10 0,368 1 0,368
.0,135 0,368 1
Другая ситуация, в которой удобно использование векторных обозначений, возникает тогда, когда случайные величины выбираются из различных случайных процессов. При этом вектор, представляющий все указанные величины, может быть записан следующим образом:
~Хг(0
X (t) = *2
-X*V) J
Теперь корреляционная матрица определяется так:
, (6.53)
~#i0) #12 00 Rin 00
RxOO --- ? [X (t) \т (t -f т)] = #21 00 #2(т) #2JV 00
_#ГГ1 ОО Rm (т) Rn 00 _
где
Ri(x)^E[Xi (OX, (f-f т)],
#о00 E[Xi(t) Xj(t-{-%)].
Обратите внимание, что в этом случае элементы корреляционной матрицы представляют собой функции от т, а не числа, как в случае корреляционной матрицы, составленной для выборок, взятых из одного и того же случайного процесса. Ситуации, в которых может возникнуть необходимость в такой корреляционной матрице, связаны с использованием антенных решеток или набора сейсмических детекторов. В таких системах шумовые сигналы в каждом элементе антенны или сейсмического детектора могут принадлежать к различным, но коррелированным случайным процессам.
Прежде чем закончить рассмотрение ковариационных матриц, стоит отметить важную роль, которую они играют при определении совместной плотности вероятностей для N случайных величин, принадлежащих гауссовскому процессу. Выше отмечалось, что гауссовский процесс — один из немногих, для которых можно определить совместную плотность распределения "^вероятностей при любом числе случайных величин. Определение этой совместной плотности вероятностей выходит за рамки настоящего обсуждения, но можно показать, что она равна
f{x) = f [х (ti), х (ia), х (tN) ] =
= [(2я)л,/2|Лх |1/2]-1 exp [— Va(xT — хг)Л_|(х — x)], (6.54)
где [ Ax | — детерминант матрицы Лх, a Лх1— обратная ей матрица.
Упражнение 6.9.1. Автокорреляционная функция случайного процесса X (() имеет вид
Rx(i) = 10 ехр (—| т |) cos 2т.
Напишите корреляционную матрицу для четырех случайных величин в моменты времени, разделенные интервалом At = 0,5 с.
Ответ.'. Элементы первой строки корреляционной матрицы 3,677, 2,228, 10,0, 6,064.
Упражнение 6.9.2. Ковариационная матрица стационарного случайного процесса X (t) имеет вид
“ 1 0,6 0,4 —“
_ — 1 0,6 —
х ~ 0,4 0,6 — 0,6 •
0,2 — — 1
Заполните пропуски в матрице.
Ответ: 1, 0,6, 0,6, 0,2, 0,4.
