Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рациональной спектральной плотности рассмотрим функцию
о , . 16 (о4 f 12ю2+32) 16 (о>2 + 4) (ю2 + 8)
(И) — Ш6 + 18®4 + 920)2 + 120 — (О)2 f 2) (о2 + 6) (О)2 + 10) '
Заметим, что эта функция удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к спектральным плотностям, а именно она является вещественной, положительной и четной относительно со. Кроме того, степень знаменателя превышает степень числителя, так что спектральная плотность стремится к нулю при со -*¦ оо. Следовательно, случайный процесс, описываемый этой спектральной плотностью, будет иметь конечное значение среднего квадрата. Подобная форма записи для спектральной плотности часто оказывается полезной при вычислении интеграла, необходимого для определения среднего квадрата случайного процесса. Такая процедура более подробно рассматривается в следующем разделе.
Возможно также существование спектральных плотностей, не являющихся рациональными функциями. Типичный пример этого случая — спектральная плотность вида
Sx (оу) = (sin 5ш/5со)2.
Как будет показано ниже, это выражение определяет спектральную плотность случайного двоичного сигнала.
Спектральные плотности данного типа непрерывны и как таковые не могут описывать случайные процессы, имеющие постоянную или периодическую компоненты. Причину этого несложно понять, если интерпретировать спектральную плотность как среднюю мощность, распределенную в пределах единичного интервала частот Любая постоянная составляющая случайного рроцесса представляет собой процесс с конечной средней мощ-
ностью, сосредоточенной при м = 0 в пределах спектра нулевой ширины, так как эта составляющая имеет дискретный частотный спектр. Конечная мощность в пределах спектра нулевой ширины эквивалентна бесконечной спектральной плотности. Следовательно, в данном случае спектральная плотность будет бесконечна на нулевой частоте и конечна на любой другой, т. е. она будет содержать дельта-функцию при ш = 0. Аналогичные доводы применительно к периодическим компонентам подтверждают существование дельта-функций на соответствующих дискретных частотах. Строгий вывод этих результатов будет способствовать большей доказательности этих доводов и в то же самое время будет иллюстрировать применение основного соотношения (7.10) для вычисления спектральных плотностей.
С целью получения требуемых соотношений рассмотрим стационарный случайный процесс
X (t) = А + В cos (®i/ + 0), (7.15)
где А, В и ©! — постоянные, а 0 — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 2я], т. е.
1/2я, 0<9<2я,
0 при других 0.
Преобразование Фурье усеченной реализации ХТ (t) равно
т = {
Fx (м) = J [А + В cos (о)^ -f- 6)] ехР [— У®^] & =
—т
= А
ехр [— /0)/]
/«в
т Д ехр Ш®1-«»)* +0]}
+
-т 1 2 /(о>1 — <»)
т
+
т
В ехр {— / [(0)! + а)./ + 0]} 2 — / К + ©)
-г *
Подстановка пределов и упрощение приводят к Р / ч 2A sin юГ . р Г ехр (/0) sin (со — tni) Т
I ехр (— /8) sin (о + сох) Т 1 ,g,
"г" <в + а>! J • ' ’ '
Квадрат модуля Fx (©) содержит девять слагаемых, часть которых не зависит от случайной величины 0, а остальные содержат либо множитель ехр [±/01, либо ехр [±/20]. Ввиду того что результат усреднения всех членов, содержащих 0, окажется равным нулю, целесообразно представить квадрат модуля в сим-
волической форме, не определяя все коэффициенты. Таким образом,
1с- /„м* 4Л2 sm2 0)7' , В2 f sm2 (со — <0j) Т , sin2 (w -I- (ot) T ] ,
Кх(®Л - 52 \-B L (« - %)2---1 (0) + ffljS" J +
+ С (со) exp [/0] -f С (— со) exp [— /0] -f D (co) exp [/20] +
+ D(— co)exp[— /20]. (7.17)
Рассмотрим теперь математическое ожидание какого-либо слагаемого, содержащего 0. Каждое из этих слагаемых имеет вид G (со) ехр IjnQ], а его математическое ожидание равно
2я
Е [G (со) ехр (jnQ)] = G (со) j (1/2я)ехр [jnQ]dQ —
о
=?% ехТ] Г-0'п=±1’±2.........................^7л8)
Таким образом, последние четыре слагаемые в (7.17) оказываются равными нулю, а математическое ожидание принимает вид
Е11 F, «о) Н = 4Л’ [S^ZL] + В- [ 8У__~ у Т +
I sin2 (CD + <»i) Г "I 1Q,
+ (0) + «i)2 J' ('
В соответствии с (7.10) спектральная плотность равна s, W = Нш {2АЧ (J«L)> + Ц. [%^т]‘ +
, ВгТ Г Sin (ю + ю^Г ]2~) , 9».
2 L (о+ ®i)7’ J Г { '
Для вычисления предела рассмотрим предельное значение множителя lim Т (sin соТ/соТ)2, входящего в первое слагаемое.
Т —>оо
Ясно, что этот предел равен нулю для всех ненулевых значений со, так как sin2 ©Т не может превышать единицу, а знаменатель возрастает по мере увеличения Т. Однако при со = 0 имеем
