Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего целесообразно кратко рассмотреть представление в частотной области неслучайных функций времени. Наиболее естественным представлением этого вида является преобразование Фурье, благодаря которому вводится понятие частотного спектра. При этом преобразование Фурье некоторой неслучайной функции времени f (t) определяется соотношением
со
F (со) = J / (^) ехр [—ju>t]dt. (7.1)
— со
Если, например, f (t) представляет собой изменяющееся во времени напряжение, то F (со) имеет размерность [В/(рад/с) ] и определяет относительные амплитуды и фазы незатухающих гармонических составляющих, суммирование которых позволяет получить исходную функцию f (t). Таким образом, амплитудные соотношения в преобразовании Фурье характеризуют плотность распреде•
ления амплитуд по частоте и поэтому определяют распределение энергии по спектру.
Представляется естественным применить ту же самую математическую операцию для случайных сигналов и использовать преобразование Фурье для определенной реализации х (t) случайного процесса
00
Ря (со) = | х (t) ехр [— /со/] dt
¦—СО
в качестве представления случайного процесса в частотной области. К сожалению, такая процедура оказывается невозможной в силу по меньшей мере двух причин. Во-первых, результат преобразования Фурье оказывается случайной величиной относительно ансамбля реализаций (для любой' фиксированной частоты ю), так как преобразование Фурье дает разные значения для каждой из реализаций случайного процесса х (t). Следовательно, преобразование Фурье в таком виде может быть частотным представлением не самого случайного процесса, а лишь его отдельных реализаций. Тем не менее это представление могло бы быть рациональным за счет определения отдельных результатов применения преобразования Фурье и усреднения их по множеству реализаций Однако существует вторая, более важная причина нерезультативности рассматриваемого подхода. Она заключается в том, что по крайней мере для стационарных процессов функция Рх (со) почти никогда не существует! В самом деле, для существования преобразования Фурье какой-либо функции времени эта функция должна удовлетворять ряду условий, одним из которых является ее абсолютная интегрируемость, т. е. абсолютная сходимость интеграла
00
J | x(t)\dt<: оо. (7.2)
-»00
Это условие никогда не удовлетворяется для любой не равной нулю реализации стационарного в широком смысле случайного процесса. В этом случае преобразование Фурье в общепринятой форме никогда не будет существовать, хотя в принципе оно может существовать для функций обобщенного вида, в частности, для импульсного сигнала.
Теперь, когда мы установили, что преобразование Фурье не позволяет получить представление случайного процесса в частотной области, логично попытаться использовать преобразование Лапласа, которое по определению обладает свойством абсолютной сходимости. Ясно, что обычное одностороннее преобразование Лапласа, справедливое для функции f (t) при t >- 0, неприменимо к стационарным в широком смысле случайным процессам. Однако
это ограничение вполне преодолимо благодаря возможности использования двустороннего (и для положительных, и для отрицательных t) преобразования Лапласа. Тогда преобразование Лапласа будет существовать почти для всех реализаций стационарного случайного процесса.
Однако данный подход оказывается не столь многообещающим, как это представляется на первый взгляд, так как просто переводит проблему существования в область обратного преобразования. Исследование данных вопросов требует знания теории функций комплексной переменной, что выходит за рамки рассматриваемого материала. Поэтому наиболее приемлемым и простым с математической точки зрения подходом является все же применение преобразования Фурье, но с использованием ограничений, которые обеспечивают его сходимость. Однако даже в этом случае не всегда удается строго обосновать правомерность соответствующих операций, ряд из которых должен восприниматься чисто умозрительно.
7.2. Связь спектральной плотности с преобразованием Фурье
Для использования преобразования Фурье необходимо видоизменить реализации стационарного случайного процесса таким образом, чтобы это преобразование существовало для каждой реализации. Есть много способов осуществления такой процедуры, но наиболее простым из них является введение нового процесса ХТ (t) ограниченной длительности, определенного на временном интервале 11\ -< Т <3 оо:
\X{t), Ш<Т< оо,
о щ>г. (7'3)
Следует отметить, что этот усеченный случайный процесс будет удовлетворять условию (7.2) при ограниченном значении Т при условии, что стационарный процесс X (t), из которого формируется Хт (t), имеет ограниченную дисперсию. Следовательно, для Хт (t) будет существовать преобразование Фурье. В действительности Хт (t) будет удовлетворять более строгому требованию интегрируемости в среднеквадратическом:
