Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
d (s) = (s + 3) (s + 5) = s2 -f 8s 4- 15,
откуда d0 - 15, dx = 8 и d2 — 1. Используя выражение интеграла /2 из табл. 7.1, получим
У5 - (5)2(15)4 (20)2 (1) _ о 99п
2 (15) (8) (1)
Следовательно, суммарное значение среднего квадрата рассматриваемого случайного процесса равно
)Г2 = 40 4- 3,229 = 43,229.
Так как математическое ожидание этого случайного процесса равно ±2, его дисперсия составляет о\ = 43,229 — (2)2 = 39,229.
Выше отмечалось, что интегрирование на комплексной плоскости представляет собой универсальный и весьма эффективный метод вычисления интегралов, представленных в форме (7.30). Краткое изложение теории такого интегрирования дается в приложении И, а в данном разделе будет дан анализ еще одного метода вычисления среднего квадрата случайного процесса по известной спектральной плотности с использованием правил этого интегрирования. С тем чтобы познакомить читателей с возможностями такой универсальной процедуры, обсуждаются только технические приемы указанного метода. Читатель должен, однако, учесть, ч;о имеется множество тонкостей, связанных с использованием математического аппарата теории функций комплексной переменной, которые могут оказаться существенными в отсутствие необходимых теоретических знаний, и читатель должен быть нацелен на освоение соответствующих вопросов теории.
Рассматриваемый в данном разделе метод основан на вычислении вычетов, а его процедура в значительной степени аналогична методике определения обратного преобразования Лапласа. Рассмотрим, например, спектральную плотность, определенную соотношениями (7.31) и (7.32). Эта спектральная плотность может быть представлена в виде сочетания полюсов и нулей, что иллю-
S-плоскость
--X----в----X--------X----е----И--о
-3-2-1 0 1 2 3
Рис. 7.5. Изображение нулей и полюсов спектральной плотности.
стрируется рис. 7.5. Контур интегрирования, определяемый уравнением (7.30), проходит вдоль оси /со, однако применение метода интегрирования на комплексной плоскости, рассмотренного в приложении И, требует наличия замкнутого контура. Такой замкнутый контур может быть получен путем добавления полуокружности бесконечно большого радиуса, замыкающей либо левую, либо правую полуплоскости. Использование левой полуплоскости позволяет снизить степень затруднений, связанных с алгебраическими знаками,поэтому в дальнейшем будем полагаться на выбор контура интегрирования, изображенного на рис. 7.6. Чтобы интеграл по этому замкнутому контуру был равен интегралу вдоль оси /со, необходимо, чтобы при R -*¦ оо его компонента, соответствующая полуокружности, стремилась к нулю. Для рациональных спектральных плотностей это справедливо всегда, когда степень полинома знаменателя выше степени полинома числителя (так как присутствуют члены только четных степеней).
Основная теорема в теории функций комплексной переменной утверждает, что значение интеграла по замкнутому контуру в односвязной области на комплексной плоскости в 2я/ раз больше суммы вычетов Ksj в полюсах sj, содержащихся внутри этого контура (см. (И.З) в приложении И). Поскольку в выражение для среднего квадрата входит множитель 1/(2я/), а выбранный замкнутый контур полностью принадлежит левой полуплоскости, зна-
Рис.
ДЛЯ
7.6. Контур интегрирования вычисления среднего квадрата случайного процесса.
чение среднего квадрата в общем случае может быть выражено как X2 = (вычеты в левой полуплоскости) = 2 К]- (7.33)
Для рассматриваемого примера (рис. 7.6) в левой полуплоскости имеются полюсы sx = —1 и s2 = —3. Вычеты легко вычислить умножением Sx (s) на множитель (s — Sj), содержащий указанный полюс, полагая затем s равным значению этого полюса (см. пример 1 в приложении И). Таким образом, имеем
к-,=№+dsx (»]„_, - Зу]__,=s/m,
к-з=i<s+3) s* (S),,_S = = 5/48.
Из (7.33) следует
X*- 3/16 + 5/48 = 7/24,
что равно полученному выше значению.
Если полюсы имеют порядок n > 1, то для вычисления вычетов могут быть использованы более общие приемы, рассмотренные в приложении И. Тем не менее значение среднего квадрата по-прежнему определяется формулой (7.33).
Упражнение 7.5.1. Стационарный случайный процесс X (I) имеет спектральную плотность вида
Sx (м) = 16/(со4 + 13со2 + 36).
а) Пользуясь табл. 7.1, определите значение среднего квадрата этого случайного процесса.
б) Решите эту же задачу, применив интегрирование по замкнутому контуру.
Ответ: 4/15.
Упражнение 7.5.2. При анализе условий, выполнение которых необходимо при использовании табл. 7.1, было отмечено, что в полиноме d (s) коэффициенты не должны быть равны нулю.
а) Объясните, почему необходимо выполнение этого условия.
б) Проверьте ваши выводы, убедившись сначала в том, что выражение
) ^4 — 4(02 _|_ 4
