Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
SYX (ю) = 96/(со2 + /2о) + 8).
Если в Sxy (ю) произвести замену переменной s = /со, получим
Sxr (s) = —96/(s2 + 2s — 8) = —96/(s + 4) (s — 2).
Представление в виде простых дробей дает
SXT (s) = [16/(s + 4) ] - [16/(s - 2) ].
При полюсе в левой полуплоскости s = —4 имеем следующее выражение Rxy (т) Для положительных т:
[ 16/(s + 4) ] <-»• 16 ехр [—4т ] при т > 0.
Чтобы выполнить аналогичную процедуру с полюсом s — 2, находящимся в правой полуплоскости, заменим s на —-s и применим обратное преобразование Лапласа. Таким образом,
— [16/(s — 2)] — [16/(s + 2)1 16 ехр [—2т].
Если х заменить на —т и объединить обе части, то полное выражение для взаимной корреляционной функции примет вид
|16ехр[—4т] при т>0,
Ryx (т) — j j g ехр ^2Т] ПрИ т < 0.
Вторая взаимная корреляционная функция может быть получена из соотношения RTX (т) = RXy (—т). Следовательно,
(16 ехр [—2т] прит>0,
Rxy (т) = \ 1б ехр [4т] при т< 0
Упражнение 7.8.1. Взаимная корреляционная функция двух совместно стационарных случайных процессов X (t) и Y (t) равна
(9ехр[—Зт] при т>0,
Яху(т) = <
I. 0 при т <0.
а) Определите соответствующую взаимную спектральную плотность Sxy (со).
б) Определите взаимную спектральную плотность Syx (со).
Ответы: 9/(—/со + 3), 9/(/со + 3).
Упражнение 7.8.2. Взаимная спектральная плотность двух совместно стационарных случайных процессов равна
Sjry (со) = 1/(—со2 + /2со + 1).
Определите соответствующую взаимную корреляционную функцию.
Ответ: т ехр [—т], т > 0.
7.9. Измерение спектральной плотности
Когда на практике встречаются случайные процессы, часто возникает необходимость измерить ряд их параметров с тем, чтобы реализовать оптимальные алгоритмы функционирования систем обработки. Наиболее простой и зачастую оправданный с физической точки зрения случай, который и будет рассмотрен ниже, связан с предположением о том, что анализируемый случайный процесс является эргодическим. В этом случае имеется возможность оценить различные параметры случайного процесса с помощью процедур временного усреднения. Вопросы, связанные с оцениванием математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса, были рассмотрены выше; теперь же целесообразно рассмотреть, как можно оценить распределение мощности по спектру частот, занимаемому случайным сигналом, т. е. как оценить спектральную плотность. Соответствующие оценки очень важны при решении многих прикладных задач. Например, знание спектральной плотности помехового сигнала часто позволяет определить происхождение (физическую природу) этого сигнала и осуществить его подавление или компенсацию. В случаях когда последнее не представляется возможным, знание энергетического спектра зачастую позволяет применить соответствующие фильтры, уменьшающие влияние помех.
В качестве типичного примера измерения спектральной плотности рассмотрим ситуацию, когда осуществляется непрерывное наблюдение (регистрация) случайного сигнала х (t) на интервале 0 t Т. Пусть х (t) — реализация эргодического случайного процесса. При этом ставится задача оценки спектральной плотности Sx (со) на основе результатов непрерывного наблюдения реализации случайного процесса.
Может показаться, что разумный путь отыскания спектральной плотности связан с определением преобразования Фурье наблюдаемой реализации и дальнейшим предположением о том, что квадрат модуля этого преобразования Фурье и является оценкой спектральной плотности. Однако этот путь оказывается нерезультативным. Действительно, поскольку преобразование Фурье полной реализации как таковое не существует, естественно, что преобразование Фурье наблюдаемой части этой реализации представляет собой грубую оценку искомой спектральной плот-
ности. Данная процедура, использующая преобразование Фурье, была бы осуществима, если бы имелась возможность определить усредненное по ансамблю значение квадратов модулей преобразований Фурье всех (или хотя бы некоторых) реализаций случайного процесса. Однако в силу того, что наблюдаемой оказывается только одна реализация, такой подход неприемлем.
Другой подход, являющийся альтернативой вышеупомянутому методу, заключается в использовании соотношения (7.40), связывающего спектральную плотность и корреляционную функцию. Так как представляется возможным оценить корреляционную функцию на основе одной реализации случайного процесса, как это показано в разд. 6.4, преобразование Фурье этой оценки и будет выражением для оценки спектральной плотности. Именно этот подход и будет анализироваться ниже.
В соответствии с (6.14) оценка Rx (т) корреляционной функции эргодического процесса X (t) может быть получена из соотношения
Т—Х
Rx (т) = (Т — т)-1 | x(t)x(t-\-x)dt, 0<т<7\
