Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Анализ характеристик оценок спектральной плотности, в частности, точности оценок, имеет большое научное и практическое значение, однако решение этой задачи сопряжено со значительными трудностями. Во-первых, оценки, использующие окна Хэмминга, не являются несмещенными, т. е математическое ожидание
оценки спектральной плотности не равно истинной величине спектральной плотности. Во-вторых, возникают серьезные затруднения при определении дисперсии оценки, хотя приближенно она может быть выражена формулой
[hSx (q Дм)] « (MjN) Sx (q Д со), (7.67)
когда 2М At достаточно велико, что означает наличие реализации большой длительности при определении корреляционной функции.
Если измеряемая спектральная плотность неравномерно распределена по частоте, то использование окна Хэмминга может привести к значительным ошибкам оценивания, которые могут быть минимизированы с помощью процедуры «обеления», т. е. изменения спектра таким образом, чтобы он стал почти равномерным. Наиболее существенные ошибки этого вида возникают в случае, когда наблюдаемый процесс содержит постоянную составляющую, которая обусловливает появление б-функции в спектральной плотности. В таких ситуациях, прежде чем приступить к анализу случайного процесса, необходимо исключить эту постоянную составляющую.
Упражнение 7.9.1. Стационарный случайный процесс X (t) имеет корреляционную функцию вида
Rx (т) = Ю (s*n ЮОлт/ЮОят).
Осуществляется оценивание этой корреляционной функции для | ь | sg; 0,04. Определите оценку спектральной плотности при со = 0 и со — ЮОя в случае использования прямоугольного окна запаздывания этой же ширш ы
Ответы'. 0,05, 0,1.
Упражнение 7.9.2. Окно Бартлетта определяется в соответствии с выражением
(1 — (|Т|/Тт) при |T|<Tm,
* ( 0 при т>тта.
Определите преобразование Фурье Wb (со) этого окна запаздывания.
_ /smcoTm/2\2
2~) •
7.10. Примеры определения и применения спектральной
плотности
Наиболее важная область применения спектральной плотности связана с анализом линейных систем при воздействии на них случайных сигналов. Однако, поскольку такое использование спектральной плотности детально обсуждается в следующей главе, в данном разделе оно рассматриваться не будет. Здесь будет приведен ряд примеров, поясняющих свойства спектральной плотности и методы ее расчета.
В качестве первого примера рассмотрим двоичную систему связи, в которой полезное сообщение передается с помощью случайной последовательности разнополярных импульсов прямоугольной формы (рис. 7.11). Эти импульсы равновероятны, имеют одинаковые амплитуды, а смена состояний (полярностей импульсов) осуществляется независимо от импульса к импульсу. Наличие крутых фронтов приводит к очень широкому спектру частот такого сигнала. Другой формой импульса является так называемый «приподнятый косинус»; при этом возникает вопрос, насколько
Рис. 7.11. Двоичная последовательность в виде: а — прямоугольных импульсов, б — импульсов в форме «приподнятого косинуса».
уменьшается ширина спектра такого сигнала по сравнению с шириной спектра последовательности прямоугольных импульсов.
Спектральные плотности исследуемых случайных процессов описываются|выражением (7.25). В обоих случаях математическое ожидание амплитуд импульсов равно нулю (так как смены полярностей разных знаков равновозможны), а дисперсия амплитуд
равна А2 для прямоугольных импульсов и В2 для импульсов в форме «приподнятого косинуса» (см. анализ дельта-распределения в разд. 2.7). Таким образом, все, что от нас требуется, — это найти величину j Z7 (ш) J2 для импульсов различной формы.
Для прямоугольного импульса функция / (t), описывающая его форму, равна
.,, j 1 ПРИ \ 2,
* ' — {о при \ t\>txl2.
Следовательно, преобразование Фурье этой функции имеет вид
F(и>) = j (1) ехр [—]<at] dt = tL »
-h! 2 1 и в соответствии с (7.25) спектральная плотность такого случайного двоичного сигнала равна
Sx(со) = А% [ SmJg21]2, (7.68)
причем она максимальна при со = 0.
Для импульса, имеющего форму «приподнятого косинуса», соответствующая функция равна
__t V2 (1 + cos (2яt/h)) при 111 < ti/2,
' _ { 0 при |/|>^/2.
Преобразование Фурье этой функции имеет вид <1/2
F(a>)~1j2 f [1 -j- cos (2nf/fi)]exp [—ja)t]dt =
-tt/г
_ (i m sin (m<i/2) я2
~~ ll/' ю^/2 ix2 — (0)^/2)*'
а соответствующая спектральная плотность равна с . . В2/х г sin (со^/2) "12 г иг
= 4/2 j (7-69)
и максимальна при м = 0.
