Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
ционная матрица, определенная в разд. 6.9, применительно к совокупности выборок рассматриваемого случайного процесса является диагональной, т. е. все ее элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю.
Упражнение 7.7.1. Стационарный случайный процесс представляет собой белый шум с ограниченным по полосе спектром в низкочастотной области, а его спектральная плотность равна
( 0,01 при | со | ^ 100л,
Х ^ ^ 1 0 при | со | > 100я.
а) Определить значение среднего квадрата этого процесса.
б) Определить наименьшее значение т, для которого корреляционная функ-
ция равна нулю.
в) Определить ширину спектральной плотности этого процесса в герцах.
Ответы: 0,01, J, 50.
Упражнение 7.7.2. Стационарный случайный процесс представляет собой белый шум с ограниченным по полосе (на высоких частотах) спектром, а его спектральная плотность равна
( 0,005 при 200л ^ I со I ^ 250л,
Sx(©) = i ’ -II-
(. 0 при других со.
а) Изобразить данную спектральную плотность.
б) Определить ширину спектральной плотности этого процесса в герцах.
в) Определить значение среднего квадрата этого процесса.
Ответы: 0,25; 25.
7.8. Взаимная спектральная плотность
При рассмотрении двух коррелированных случайных процессов, например, сигналов на входе и выходе линейной системы, можно определить пару функций, называемых взаимными спектральными плотностями. В рамках проводимого анализа достаточно дать их определение и указать некоторые из их свойств, не приводя каких-либо формальных доказательств.
Если Fх (со) есть преобразование Фурье усеченной реализации некоторого случайного процесса X (/), a Fr (со) — аналогичное преобразование Фурье другого случайного процесса Y (t), то взаимные спектральные плотности этих процессов могут быть определены следующим образом:
о е„\ 1™ Е (— ш) Fу (со)] ,7<га
iAY(co) = lim ---------------------, (7.49)
Г->- 00 11
S„(«>) = lim (7 50)
Г->-ео
В отличие от обычных спектральных плотностей, взаимные спектральные плотности не обязательно должны быть вещественными, положительными или четными функциями со. Они обладают следующими свойствами:
1. Sxy (ю) = (ю) (знак «звездочка» означает комплексно
сопряженную величину).
2. Re [Sx-у (to)] и Re [Syx(o))] являются четными функциями (0.
3. Im [S^r((o)] и Im [Sr^((o)] являются нечетными функциями ю.
Взаимные спектральные плотности могут быть связаны с взаимными корреляционными функциями преобразованием Фурье. Таким образом, для совместно стационарных процессов (в отечественной литературе чаще используется термин «стационарно связанные случайные процессы». — Перев.) справедливы соотношения
оо
Sxу(ю)= j ^Ху(т)ехр[—/0)T]dT, (7.51)
—оо
оо
Rxy (т) = (1 /2at) J Sxy (ю) ехр [/сот] do), (7.52)
—ОО
ОО
SyX(o»)= J /?уХ (т) ехр [—/(oxl dr, (7-53)
*— ОО
оо
Ryx (т) = (1/2я) — J SY\ (со) ехр [/ют] do). (7.54)
—ОО
Можно также связать взаимные спектральные плотности и взаимные корреляционные функции с помощью двустороннего преобразования Лапласа, как это было сделано выше для обычных спектральной плотности и корреляционной функции. Таким образом, для совместно стационарных случайных процессов справедливо
00
5jcy(s)= [ Rxy 00 ехр [ st] dx,
—оэ
/оо
Rxy (т) = (1/2я/) J Sxy (s) ехр [st] ds,
—/ОО
СО
Syx (s) = J Ryx (f) exp [ st] dx,
/00
Ryx (t) = (1/2jx/) f SYX (s) exp [st] ds.
&jco
При использовании двустороннего обратного преобразования Лапласа для определения взаимной корреляционной функции не
представляется возможным применить свойство ее симметрии при отрицательных т; при этом необходимо применить процедуру, рассмотренную в разд. 7.6. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Предположим, что взаимная спектральная плотность равна
Sxу (со) = 96/(ю2 — /2 со + 8).
Отметим, что функция SXY (со) является комплексной. В силу свойств взаимных спектральных плотностей (свойство 1) взаимная спектральная плотность Srx (со) является функцией, комплексно сопряженной с Sxy (®)- Таким образом,
