Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
б) найти одностороннее обратное преобразование Лапласа функции, полюсы которой принадлежат к левой полуплоскости и
в) заменить т на —т. Применяя эту процедуру к вышеприведенной простой дроби, полюс которой находится в правой полуплоскости, получим
=рЗр" = г?р~Лехр[-рт].
Замена т на —т приводит к выражению
—Af(s + (3) <-> А ехр [рт] при 0.
Таким образом, результирующая корреляционная функция равна
Rx(x) = Лехр[— Р[т|], — оо<т<оо,
что совпадает с выражением для исходной корреляционной функции (см. рис. 7.7). Метод, который был проиллюстрирован этим примером, является достаточно универсальным и позволяет осуществлять переход как от спектральных плотностей к корреляционным функциям, так и от взаимных спектральных плотностей (которые будут рассмотрены ниже) к взаимным корреляционным функциям.
Упражнение 7.6.1. Стационарный случайный процесс X (t) имеет корреляционную функцию вида
Rx 00 16 ехР t—2 | т | J —¦ 8 ехр [—4 [ т | ].
Определить спектральную плотность этого процесса.
Ответ'. 768/(со4 + 20со2 + 64).
Упражнение 7.6.2. Стационарный случайный процесс имеет спектральную плотность вида
Sx (со) = 16 V + 13соа + 36).
Определить корреляционную функцию этого процесса.
Ответ: (8/15) {1,5 ехр [—2|т|]—ехр [—3|т|1}.
7.7. Белый шум
Выше (разд. 7.3) было дано определение белого шума как случайного процесса, спектральная плотность которого постоянна для всех значений со, т. е. Sx (ю) = 50. Представляет интерес определение корреляционной функции такого процесса. Наиболее целесообразно это сделать, приведя готовый результат и доказав
его справедливость. Рассмотрим корреляционную функцию вида б-функции:
Rx (Т) = 50б (т).
Подстановка этого выражения в (7.40) дает
оо
•S*(®) = J ЯхСс)ехр[— jm]dx =
jso6(T)exp[—jax]dx = S0, (7.47)
что действительно представляет собой спектральную плотность белого шума. Отсюда ясно, что корреляционная функция белого шума есть 8-функция с относительной высотой (интенсивностью), равной спектральной плотности.
Выше было отмечено, что понятие белого шума — это лишь удобная абстракция, потому что средний квадрат такого процесса равен бесконечности вследствие того, что площадь, ограниченная функцией спектральной плотности, бесконечна. Этот же вывод со всей очевидностью следует из рассмотрения корреляционной функции. Напомним, что значение среднего квадрата случайного процесса равно его корреляционной функции при х — 0. Для 6-образной корреляционной функции это значение при х = 0 равно бесконечности. Тем не менее, как отмечалось выше, понятие белого шума оказывается чрезвычайно полезным при анализе линейных систем, особенно в тех случаях, когда ширина спектральной плотности случайного сигнала на входе системы значительно шире полосы пропускания этой системы. В этих условиях предположение о том, что входной случайный сигнал является белым шумом, в значительной степени может упростить расчет реакции системы; при этом ошибки, возникающие за счет такого приближения, часто оказываются незначительными. Соответствующие примеры рассматриваются в гл. 8 и 9.
Часто используется понятие белого шума с ограниченным по полосе спектром. При этом имеется в виду случайный процесс, спектральная плотность которого постоянна в пределах ограниченной полосы частот и равна нулю вне ее. Например (рис. 7.8, а).
( S0, I со I 2яW,
Sx (ю) I Q; I «I >2 nW. (7-48)
Случайные процессы, имеющие такую спектральную плотность, не существуют в природе, хотя значение среднего квадрата конечно и равно X2 = 21^S0. Интерес к спектральным плотностям вида (7.48) объясняется тем, что к такой идеализации можно при-
ближаться сколь угодно близко, и соответствующая модель случайного процесса оказывается удобной для анализа ряда систем.
Выражение для корреляционной функции случайного процесса со спектральной плотностью вида (7.48) легко получить из (7.42):
Rx (т) = (1/2я) J Sx (оу) ехр [/сот] dco
2 nW
= (1/2я) j S0 ехр [/сот] da = (S0/2n)
ехр [/сот]
-2Я W
IX
2UW
-2nW
(S0/2n) {ехр [/2я№т] — ехр [— /2я№т]}//т =
= (Sq/jxt) sin 2nWx — 2W7S0 [sin (2nWx)!2nWx).
Зх(ш)
Рис. 7.8. Белый шум с ограниченным по полосе спектром: а — спектральная плотность, б — корреляционная функция.
График этой функции изображен на рис. 7.8, б. Обратите внимание, что в пределе при W оо это выражение стремится к б-функции.
На рис. 7.8, б можно заметить, что случайные величины, представляющие собой выборочные значения рассматриваемого случайного процесса, некоррелированны, если они разделены интервалами времени, кратными 1/2№. Кроме того, известно, что любую временную функцию с ограниченным спектром можно точно и однозначно представить ее выборочными значениями, взятыми с частотой, вдвое превышающей ширину спектра этой функции. Это так называемая теорема отсчетов. Следовательно, если функция с ограниченным спектром, имеющая равномерную (постоянную) спектральную плотность, должна быть представлена ее выборочными значениями, то оказывается, что эти выборки будут некоррелированными. Отсутствие корреляции между отдельными выборками может оказаться важным преимуществом при выполнении последующего анализа. В частности, корреля-
