Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Мы полагаем, что читатель уже знаком с традиционными методами анализа линейных систем во временной или частотной областях. В рамках представляемого материала упоминание об этих методах осуществляется для внесения ясности в вводимые обозначения, однако при этом не предпринимаются попытки рассмотрения фундаментальных концепций, лежащих в основе данных методов. В качестве характеристик собственно линейной системы будем рассматривать ее импульсную характеристику h (t) или комплексную частотную характеристику Н (/го), представляющую собой преобразование Фурье функции h (t). Часто представляется целесообразным использовать также передаточную функцию системы Я (s), являющуюся преобразованием Лапласа импульсной характеристики. В большинстве случаев для удобства начальные условия полагаются нулевыми, однако при необходимости может быть осуществлен учет ненулевых начальных условий с помощью известных методов.
Если воздействие на входе линейной системы является детерминированным, то любой известный подход позволяет получить однозначные соотношения между входным и выходным сигналами. При наличии на входе системы реализации случайного процесса опять же существует взаимно однозначное соответствие процессов на входе и выходе, однако в силу их случайной природы невозможно явное представление (описание) возбуждающего воздействия, а значит, и отклика системы. В данном случае в нашем распоряжении остается либо вероятностное, либо статистическое описание отклика системы именно потому, что мы должны использовать такое описание для самого возбуждающего воздей-
ствия, т. е. случайного процесса на входе системы ]). Из этих двух методов описания (вероятностного и статистического) статистический метод оказывается более результативным. Только для ограниченного круга задач представляется возможным получить вероятностное описание выходного процесса исходя из подобного описания процесса на входе, тогда как для большого числа случаев, представляющих практический интерес, легко получить статистическую модель выходного процесса путем применения простых математических операций к статистической модели входного процесса (путем пересчета числовых статистических характеристик, корреляционной функции и спектральной плотности входного случайного процесса к выходу.— Перев.). С помощью этого метода могут быть определены такие характеристики случайного процесса на выходе линейной системы, как его математическое ожидание, корреляционная функция и спектральная плотность. Ниже будет рассматриваться только статистический подход.
8.2. Анализ во временной области
Посредством интеграла свертки можно определить реакцию линейной системы на воздействие самого общего вида. Для систем с изменяющимися во времени параметрами или для нестационарных случайных воздействий (а также при одновременном возникновении обеих этих ситуаций) соответствующий анализ оказывается достаточно сложным, поэтому эти случаи в дальнейшем рассматриваться не будут. С тем чтобы приблизить проводимый анализ к реальным ситуациям, ограничим наше рассмотрение случаем физически реализуемых систем (в отечественной литературе в последнее время чаще используется термин «физически возможные системы». — Перев.), являющихся при этом устойчивыми. Обозначим через л; (t), h (t) и у (t) соответственно входной процесс, импульсную характеристику системы и выходной процесс (рис. 8.1). Тогда связь между ними может быть установлена с помощью соотношения
со
y(i) = j х (t - k) h (k) dk, (8.1)
0
или
i
y{t)= J x (k) h(t -k) dk. (8.2)
*) Напомним, что под вероятностным описанием случайного процесса мы понимаем его представление с помощью ряда вероятностных функций (одномерных и многомерных функций распределения, плотностей вероятностей и т. д. — Персв.)\ под статистическим описанием мы понимаем представление с помощью характеристик, усредненных по ансамблю реализаций (в частности, с использованием математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции).
Условия физической реализуемости и устойчивости системы определяются выражениями
Исходя из этих определений, можно получить много важных характеристик выходного сигнала линейной системы при действии на ее входе стационарного случайного процесса.
Рассмотрим простой пример анализа во временной области процесса воздействия детерминированного сигнала на линейную систему с целью пояснения методики этого анализа и ее обобще-
Ясно, что эта импульсная характеристика удовлетворяет условиям физической реализуемости и устойчивости. Пусть на входе этой линейной системы имеет место детерминированный случайный процесс (в соответствии с отечественной терминологией — «квази-детерминированный процесс». — Перев.) вида
где М и 0 — взаимно независимые случайные величины, из которых 0 равномерно распределена в интервале [0, 2я]. Заметим, что этот процесс стационарен, но не обладает свойством эргодичности. Кроме того, так как известно представление входного сигнала в явной математической форме, можно получить и явное математическое выражение для выходного сигнала, несмотря на то что этот сигнал содержит случайные параметры. Следовательно, данная ситуация существенно отличается от случаев, анализ которых составляет основное содержание этой главы, а именно, когда на входе линейной системы имеют место недетерминированные случайные процессы, не имеющие явного математического описания.
