Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
В = \j2nRC = Ы 2л 1Гц],
так что (8.14) можно переписать в виде
Y* = jiBS0. (8.15)
R
О" - VvV~ +
т
Y(t)
Рис. 8.2. .RC-цепь, реализующая фильтр нижних частот с передаточной характеристикой
tf(s) = [/?C(s+l/i?C)]-i =
= b/(s + fc), где b — 1 IRC,
и импульсной характеристикой Ье~ы, О,
<<0.
h(t)
_ (be ~ 1 0,
Из вышеизложенного очевидно, что значение среднего квадрата случайного процесса на выходе такой цепи возрастает по линейному закону с увеличением ее полосы пропускания. Такой результат является характерным для случаев, когда ширина спектра случайного процесса на входе линейной системы намного превышает полосу пропускания этой системы.
Далее следовало бы рассмотреть ситуацию, когда входной случайный процесс X (t) не является белым шумом. При этом должен быть вычислен двойной интеграл вида (8.10), что представляет собой трудоемкую процедуру, являющуюся лишь частным вариантом более общей задачи определения корреляционной функции случайного процесса Y (t) на выходе линейной системы. Так как решение этой задачи в ее полном объеме лишь в незначительной степени сложнее процедуры вычисления значения сред-
него квадрата того же самого случайного процесса, эти вопросы рассмотрим в следующем разделе.
Упражнение 8.3.1. Импульсная характеристика линейной системы опреде ляется выражением h (() = / ехр [—Ы] и (t), где и (t) — единичная ступенчатая функция. На вход такой системы воздействует аддитивная смесь белого шума с двусторонней спектральной плотностью 4 В2/Гц, и постоянной составляющей 2 В. Определите
а) математическое ожидание случайного процесса на выходе этой системы,
б) его дисперсию,
в) значение среднего квадрата выходного процесса.
Ответы: 0,037, 0,0864, 0,2222.
Упражнение 8.3.2. На вход интегратора со сбросом воздействует белый шум, имеющий двустороннюю спектральную плотность, равную 0,25 В2/Гц. Импульсная характеристика интегратора определяется выражением h (f) = 5 [и (t) — — и (t — 0,2)]. Найдите а) математическое ожидание случайного процесса на выходе этой системы,
б) значение среднего квадрата выходного процесса.
Ответы: 0, 1,25.
8.4. Корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной системы
Определение корреляционной функции случайного процесса
Y (t), действующего на выходе линейной системы, непосредственно связано с задачей вычисления его среднего квадрата. По определению эта корреляционная функция равна
Ry (т) = Е [Y (t) Y(t + г)].
Следуя методике, которая использовалась применительно к равенству (8.9) и в отличие от которой в подынтегральном выражении второго сомножителя, стоящего под знаком математического ожидания, необходимо заменить t на t + т, получим соотношение для корреляционной функции
оо оо
RY (г) = J dh J Е [X (t - К) X (t + т — %2)) h (К) h (Я,) Л2. (8.16)
о о
В данном случае математическое ожидание в подынтегральном выражении равно
Е [X (t —• А.]} X (t т — Л.а)] = Rx (t — А.1 — t — т -j- =
— Rx (^2 — ^1 — Т)>
Тогда выражение для корреляционной функции выходного процесса Y (0 будет иметь вид
оо оо
Rу (т) ~ J dX 1 | Rx (А,а — — т) h (X.i) h (А,2) dX%, (8.17)
о о
где Rx — корреляционная функция случайного процесса X (t) на входе линейной системы. Следует обратить внимание на сход-
ство между этим результатом и выражением для среднего квадрата (8.10), которые, как и следовало ожидать, оказываются идентичными при т = 0.
В случае воздействия на линейную систему белого шума выражение для корреляционной функции процесса на ее выходе существенно упрощается. Пусть, как и ранее, для Rx (х) справедливо соотношение Rx (т) = S08 (х), которое подставим в (8.17), тогда получим
оо оо
Ry (т) = j dki j 50б (k2 ~-'K1~~x)h (кг) h (k2) dX2 = о 0
oo
= So J h (h) h (Кг + x) dK- (8.18)
о
т>0 r < 0
Рис. 8.3. Графики сомножителей подынтегрального выражения (8.18) для ^С-цепи, изображенной на рис. 8.2. г ;
Таким образом, при воздействии белого шума на линейную систему корреляционная функция выходного процесса пропорциональна корреляционной функции импульсной характеристики этой системы.
Этот вывод можно пояснить на примере воздействия белого шума на линейную цепь, изображенную на рис. 8.2. При этом
Ry (т) = S0 J b ехр [—bk] b ехр [—b (К -)- т)]
dX
= b2S0 exp[-M exPl2f^-
(bS0/2) exp [—bx], x>0. (8.19)
