Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
чтобы было удовлетворено условие устойчивости (8.4). Для реальных сигналов функция Z (?) всегда ограниченна, за исключением ряда математических моделей, для которых соответствующая функция времени может и не быть ограниченной.
Возвращаясь к задаче определения математического ожидания случайного процесса Y (t) на выходе линейной системы применительно к случаю воздействия на нее стационарного в широком смысле случайного процесса X (t), запишем
оо оо
Y = \E[X(t- X)]h(X)dX = X |h(X)dX. (8.7)
о о
Необходимо напомнить известный результат из анализа систем, заключающийся в том, что площадь, ограниченная импульсной характеристикой, равна коэффициенту усиления системы по постоянному току (т. е. характеризует степень усиления системой постоянной составляющей входного воздействия), или, что то же самое, значению амплитудно-частотной характеристики при ю = 0. Следовательно, выражение (8.7) устанавливает тот очевидный факт, что постоянная составляющая выходного сигнала равна постоянной составляющей входного сигнала, умноженной на коэффициент усиления системы по постоянному току. Если математическое ожидание случайного процесса X (t), действующего на входе системы, равно нулю, то математическое ожидание выходного процесса Y (t) также будет равным нулю. Если система не пропускает постоянную составляющую тока, то соответствующий выходной процесс всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.
Для определения значения среднего квадрата выходного сигнала необходимо вычислить математическое ожидание произведения двух интегралов. Однако если ввести две переменные интегрирования, то это произведение можно всегда представить в виде двойного интеграла
Г2 = Е [У2 (*)] = ?
оо оо
J X (t - Хх) h (Xj) dXx \x(t — h>) h (X2) d%2
= E
oo oo
\dK\x(t- Хг) X (t k2) h (Хг) h (X2) dX2
.0 0 oo oo
= j dXx j E [X (t - Хг) X(t- X2)] h (XJ h (Ц dK
(8.8)
(8.9)
где разные индексы при переменных интегрирования и Х2 введены во избежание путаницы. Математическое ожидание выра-
жения под знаком второго интеграла представляет собой корреляционную функцию входного случайного процесса, а именно
Е [X (t А>х) X (t Х2)] = Rx (t А.1 t -f- k2) = (X2 — A*).
Следовательно, выражение (8.9) приобретает вид
оо оо
Y* = j dkj. { Rx (К - К) h (К) h (К) dl2. (8.10)
о о
Обычно вычисление величины Y2 в соответствии с (8.10) не представляет собой значительных затруднений в случаях, когда Rx (т) и h (t) содержат только экспоненциальные функции. Тем не менее соответствующие процедуры часто оказываются очень громоздкими. Это обусловлено тем, что в ряде случаев корреляционные функции имеют разрывы их производных в нуле (в данном случае при ^ = %2), вследствие чего интегрирование должно выполняться в пределах нескольких областей. Эти особенности будут рассмотрены ниже. На данном этапе, однако, целесообразно проанализировать более простой случай, когда на вход линейной системы воздействует случайный процесс типа белого шума. Как было показано в разд. 7.7, при этом справедливо соотношение
Rx М = S08 (т),
где S0 — двусторонняя спектральная плотность белого шума. Тогда соотношение (8.10) можно переписать в виде
оо оо
Y* = j dkx [ S08 (X2 - %!) h (Кг) h (k2) dk2. (8.11)
о 6
Интегрируя по переменной k2, получим
oo
У5’=50{а2(Я)Л. (8.12)
о
Следовательно (а это важный результат), значение среднего квадрата К2 пропорционально площади, ограниченной квадратом импульсной характеристики 2).
В качестве иллюстрации применения этих соотношений рассмотрим пример линейной системы в виде интегрирующей ^С-цепи, реализующей в данном случае фильтр нижних частот (рис. 8.2).
2) Необходимо отметить, что для некоторых функций этот интеграл может
оказаться расходящимся даже при выполнении условия (8.4). Это имеет место,
иапример, когда h (t) содержит о-функции. Примером соответствующей системы
.может являться i?C-uenb, реализующая фильтр высоких частот.
В соответствии с (8.7) математическое ожидание выходного сигнала Y (t) равно
Y = Х jbexpt—bX)dX = Xb
X. (8.13)
Этот результат легко проверить, убедившись в том, что коэффициент усиления этой цепи по постоянному току равен единице.
Вычислим теперь значение среднего квадрата случайного процесса У (t) на выходе этой цепи при воздействии на ее вход белого шума. Из (8.12) имеем
Y*
оо оо
S0 У b2 ехр [~2bk] Ok = 62S0 —= bsj2. (8.14)
П Л
Следует заметить, что параметр b, являющийся величиной, обратно пропорциональной постоянной времени рассматриваемой цепи (Ь = 1/тс, где тс = RC), связан также с ее полосой пропускания В соотношением
