Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Данный результат справедлив только при х ^ 0. Для х < 0 должна быть выбрана другая область интегрирования, так как импульсная характеристика при отрицательных значениях аргумента всегда равна нулю. Эти рассуждения можно пояснить с помощью рис. 8.3, иллюстрирующего вид функций (сомножителей) h (к) и h (к + х), входящих в подынтегральное выражение равенства (8.18), для случаев х^> 0 и х < 0. Естественно, если
один из этих сомножителей равен нулю, то подынтегральное выражение также оказывается равным нулю. При т < 0 соотношение (8.18) приводится к виду
оо
Ry (т) = S0 j* b ехр [—b%] b exp [
—T
oo
= t»s.«P[-w “1-f-1
—T
Объединяя (8.19) и (8.20), получим в целом выражение для корреляционной функции, справедливое как для положительных, так
и для отрицательных т:
Ry (т) = (bS0/2) ехр [—Ь | т |],
— ОО <т< оо. (8.21)
Теперь ясно, что расчеты для т < 0 можно было и не произво-\2 дить. Действительно, так как корреляционная функция яв-Рис. 8.4. Корреляционная функция, ляется четной функцией аргу-входящая в выражение (8.17). мента т, общее выражение
можно непосредственно получить из (8.19) заменой т на |т|. К такому приему мы будем прибегать неоднократно в дальнейшем.
Целесообразно рассмотреть хотя бы один пример, когда входной случайный процесс не является белым шумом. При этом можно было бы пояснить ряд возникающих трудностей, связанных с операцией интегрирования в (8.18), а также использовать полученные результаты для того, чтобы сформулировать выводы и рекомендации, касающиеся правомерности и практической пользы аппроксимации реального случайного процесса белым шумом. С этой целью предположим, что случайный процесс, воздействующий на вход ^С-цепи, изображенной на рис. 8.2, имеет корреляционную функцию вида
Яд:(т) = (pS0/2)exp[—Р|т|], —оо<т<оо. (8.22)
Коэффициент р50/2 выбран с тем расчетом, чтобы спектральная плотность этого случайного процесса на частоте ю = 0 была равна S0 (см. (7.41) и рис. 7.7, б). Таким образом, полагается, что на низких частотах спектральная плотность данного случайного процесса равна спектральной плотности введенного выше (т. е. формирующего его) белого шума.
Для определения в этом случае областей интегрирования целесообразно рассматривать корреляционную функцию Rx (^2 — — t) как функцию переменной при т!>0 (рис. 8.4).
—b (К т)] dX =
= (bS0/2) ехр [6т], т < 0. (8.20)
Так как в соответствии с (8.17) Хг всегда считается положительной, очевидно, что пределы интегрирования по переменной Хг должны быть равны Х2 = (0,^ + т) и Х2 = (7^ + т, оо). Следовательно, (8.17) можно записать в форме
ОО
Ry(т) = j* dki J Rx (^2 — — x)h (^i) h (A2) d%2 4"
0 0 oo oo
+ ^ dXi ^ Rx (^2 — ^"i — x)h (Xj) h (X2) dX2 (b2pS0/2) x
0
oo j -j-T
x j exp [— (b + P) A,i] dXi j exp [—pt] exp [— (b — P) X2] dX2 +
0 0
oo oo
+ (&2pS0/2) j'expt— (b — P)^]^ j exp [рт] exp [— (b -f p) X2] dX2 =
0
oo
= —ffi-'p) eXp [~$X] J eXp (Ь + P) X
0
x {exp [— (b — P) (Xy + т)] — 1} dX± —
oo
— —2"(b + p)~ exP j exPl— (b~exp[—(6 + Р)(А,1 + т)]Л1 =
о
62PS0 ( exp [—bx] , exp [—Рт] ) . 62PS0 exp [—b%\
~ 2 (b — P) ( 2b г b + P j 2 (b + P) 2b
= 2{F=^p5f lexP [—IN - (p/fr)exp [—,bx]}, t>0. (8.23)
Используя свойство симметрии (четности корреляционной функ-
ции), можно непосредственно записать аналогичное выражение для т < 0. Окончательно получим
Ry (т) - 2 (^р2) 1ехР [—Р | т |] - (Р/6) ехр [—&|т|][. (8.24)
Чтобы сравнить полученный результат с выражением, выведенным выше для случая воздействия на линейную систему белого шума, необходимо перейти к пределу р оо. При этом
lim Ry (т) = (bSj2) ехр [-— b | т |], (8.25)
(3 оо
что совпадает с (8.21). Однако наибольший интерес представляет случай, когда р много больше Ь, но тем не менее является конечной величиной. Это соответствует реальной физической ситуации, когда ширина спектра входного случайного процесса существенно
превышает полосу пропускания линейной системы. Для сравнения результатов, соответствующих двум вышеупомянутым случаям, представим (8.24) в виде
Ry (т) = (bS0/2) ехр 1-Ь \ т |] [1/(1 - 62/р2)] х
X {1 — (6/Р)ехр [— (р — Ь) |т|]}. (8.26)
Первый сомножитель в (8.26) представляет собой корреляционную функцию выходного процесса системы при воздействии на ее вход белого шума. Второй и третий сомножители характеризуют степень отличия реальной корреляционной функции от корреляционной функции, соответствующей аппроксимации реального входного процесса белым шумом. Очевидно, когда р намного превышает Ь, оба этих сомножителя стремятся к единице.
