Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Основная цель этих рассуждений заключается в том, чтобы подчеркнуть, что на практике возникает большое число ситуаций, когда ширина спектра шумового воздействия на входе системы значительно больше полосы ее пропускания, и при этом вполне допустимо использовать аппроксимацию этого воздействия процессом типа белого шума. Благодаря этому существенно уменьшается трудоемкость вычислений без ощутимых потерь точности. Например, при использовании усилителя с высоким коэффициентом усиления и полосой пропускания 10 МГц наиболее интенсивной составляющей его шумов является дробовой шум первого каскада, ширина спектральной плотности которого может достигать 1000 МГц. Следовательно, коэффициент Ь/р, входящий в соотношение (8.26), равен всего лишь 0,01, а ошибка аппроксимации реального случайного процесса (в данном случае дробового шума), действующего на входе усилителя, белым шумом не будет превышать 1 %.
Упражнение 8.4.1. Для случая воздействия белого шума на вход интегратора со сбросом, импульсная характеристика которого определена в упражнении
8.3.2, определите значения корреляционной функции выходного процесса при следующих т: а) т = 0, б) т = 0,1, в) т = 0,21.
Ответы: 0, 0,625, 1,25.
Упражнение 8.4.2. Импульсная характеристика линейной системы имеет вид h (t) = 3 ехр [—3/] и (t].
На вход этой системы воздействует случайный процесс, корреляционная функция которого равна Rx М = 2 ехр [—4 | т |]. Определите корреляционную функцию при следующих значениях ее аргумента: а) т = 0, б) т = 0,5, в) т = 1.
Ответы. 0,1236, 0,417, 0,8571.
8.5. Взаимная корреляционная функция случайных процессов на входе и выходе линейной системы
Если случайный процесс воздействует на вход линейной системы, то должна существовать определенная связь выходного процесса с процессом на входе. Значит, эти процессы будут кор-
релированными, а при этом большое значение имеют природа и характер их взаимной корреляционной функции. Действительно, ниже на примере будет показано, как эта функция может быть использована при реализации методов экспериментального определения импульсной характеристики любой линейной системы.
Одна из двух возможных [Rxy (т) или Ryx (т)) взаимных корреляционных функций входного и выходного случайных процессов определяется соотношением
Rxr (т) = Е[Х (0 Y(t + т)], (8.27)
а с учетом (8.5) приводится к виду
Rxy(x) — Е
X(t) { X(t + x-X)h(X)dX
(8.28)
Так как функция X (t) не зависит от X, она может быть внесена под знак интеграла; после этого аналогичная процедура справедлива и для операции математического ожидания, символ которой также можно внести под знак интеграла. Тогда получим
оо оо
RXy (т) = J Е [X (О X (t + т — X)]h (A.) dX = J Rx (х - X) h (X) dX.
о о
(8.29)
Таким образом, данная взаимная корреляционная функция является сверткой корреляционной функции случайного процесса на входе системы и импульсной характеристики этой системы.
Вторая взаимная корреляционная функция рассматриваемой пары равна
RYX(x) = E[X(t + x)Y(t)] = E
X (t + т) J X (t ~ X) h (X) d,X
= ] Е [X (t + г) X (t— X)] h{X) dX = J Rx (т + X) h (X) dX. (8.30) о о
Так как корреляционная функция входного процесса, входящая в подынтегральное выражение равенства (8.30), симметрична относительно X — —т, а импульсная характеристика всегда равна нулю для отрицательных значений X, взаимная корреляционная функция RYX (т) всегда будет отличаться от RXY (т). Однако при т = 0 эти взаимные корреляционные функции имеют одинаковые значения.
Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления взаимных корреляционных функций данного типа. Пусть на вход линейной системы, изображенной на рис. 8.2, поступает
случайный процесс X (t) с корреляционной функцией вида (8.22). При этом взаимная корреляционная функция может быть выражена как
Т
Rxy (т) = { KPS0/2) ехр [—0 (т — ЩЬ ехр [—Мь] dX +
о
оо
+ J |(р50/2)ехр[—р(\-т)]}6ехр[—bl]dl, х > 0. (8.31)
Т
Непосредственно выполнив интегрирование, получим Rxy (т) = {[р/(р2 - fc2)] ехр [-Ьх] -
— [1/2 (р — Ь))ехр[—Ьх]\, т>0. (8.32)
Выражение для RXY (х) при х < 0 имеет вид
оо
Rxy (j) = J |(PS0/2)exp[—Р (X,—т))| bexp [—bX]dh. (8.33) о
Интегрирование (8.33) приводит к равенству
Rxy W = [P&S0/2 (Р + &)1 ехР т < 0. (8.34)
Другая взаимная корреляционная функция RYX 00 может быть получена из соотношения
Ryx (т) = Rxy (-т). (8.35)
Вышеприведенные результаты оказываются еще более простыми при воздействии на вход линейной системы белого шума. При этом имеем равенства Rx (х) = S0б (г) и
7 ( S0h(x), х^>0,
Rxy (г) = j S0б (т - I) h (К) dl = | Q® т<0. <8’36)
