Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
для моделей Ходжкина — Хаксли и Нобла
Построение систем второго порядка для возбудимых мембран основано на разделении быстрых и медленных переменных. Понижение порядка достигается за счет исключения дифференциальных уравнений для быстрых компонент. Строгое обоснование этой процедуры дано в работах [14—17]. Ее применение для сведений уравнений типа Ходжкина — Хаксли к системам второго порядка проще всего проследить на примере уравнений Нобла.
Построение системы N2 по уравнениям Нобла
Модифицировав уравнения Ходжкина — Хаксли так, чтобы они описывали волокно Пуркинье, Нобл [2] получил систему четвертого порядка:
-СЁ = [{gmm'h + d)(E- Еш) + (gKl (Е) + gKin*) (Е -
— Ек) + gi (Е — Ег)\ — 1ех,
m = lfh (Е) - тУхт (Е), h = [h (Е) - h]lxh (Е), /
п = \п (Е) — п]/т„ (Е).
Здесь Е — потенциал мембраны, т и h — переменные активации и инактивации натриевой проводимости, п — переменная активация калиевой проводимости. Функции т (Е), h(E), h (Е) — определяемые экспериментально установившиеся значения соответствующих переменных; хт (Е), х,г (Е), xh (Е) — их постоянные времени, /„ — внешний ток. Константы Е^а, Ек, Et — равновесные потенциалы натриевого и калиевого токов и тока утечки. Константы gNa, d, gK->, gi и функция gKl (Е) имеют смысл максимальных проводимостей токов, С — удельная емкость мембраны.
Для упрощения анализа воспользуемся тем, что переменные т и h оказываются быстрыми по сравнению с переменной п (хт ~ ~ 10~4 с, xh ~5-10“3 с, хп ~1()_1с). Сделаем замену времени t' = t!т0, где т0 = 1СГ1 с. Тогда второе и третье уравнения системы (4.1) примут вид: гхт = т (Е) — т; e2 h = h (Е) — h, где 8i = тт {Е)1 То, s2 = xh (Е) /т0. Перейдя к пределу при ех, s2 ->0 и заменив переменные тийих квазистационарными значениями те (Е) и h (Е) (правомерность такого перехода обосновывается теоремой Тихонова [14]), получим систему второго порядка:
— СЁ = [(?ш"г3 (Е) h(E) -f- d) (Е — ?Na) + (gK1 (E) +
+ gKzn*) (E — Ek) + gt(E — Et) — lex, (4.2)
n = [n(E) — n]/xn(E).
Полученная система (4.2) все еще релаксационна: переменная Е гораздо более быстрая, чем п (те ~ 10“4 с -г- 10“2 с, rn ~ Ю"1 с). Несмотря на это, переменную Е из системы (4.2) исключить аналогично переменным т, и h нельзя, так как первое уравнение не удовлетворяет условию устойчивости теоремы Тихонова. Тем не менее релаксационность полученной системы обеспечивает простоту и точность ее анализа качественными методами. Поскольку уравнения системы (4.2) получены за счет пренебрежения постоянными времени тт, т^, то они правильно описывают процессы лишь на больших временах: t rm, th. При замене т т (Е') и^-> h (Е) быстрый натриевый ток оказался уменьшенным (замененным на свое квазистационарное значение, соответствующее стационарной инактивации), и соответственно уменьшилась степень релаксационности модели. Введя в первое уравнение системы (4.2) регулирующий релаксационность множитель а перед dEldt и положив а = Ч3, можно улучшить и описание быстрых движений. Полученную таким образом систему далее будем называть системой N2.
Любопытно, что Зиман [18] доказал теорему о том, что моделями второго порядка нельзя описать возбуждение сердечных клеток, а для этого требуется система мьнимум третьего порядка (чтобы описать нерелаксационный (гладкий) возврат к состоянию покоя). Этот вывод был получен при анализе систем с фиксированным малым параметром. Но при редуцировании уравнений Нобла возникает система другого вида — в ней оставшийся малый параметр 8 = Тд (Е, п)/х„(Е) не фиксирован, а является функцией переменных!
Построение системы Н — Н2 по уравнениям Ходжкина — Хаксли
В уравнениях Ходжкина — Хаксли медленными переменными являются п и h (т,„~10“4с, T„~Th~ 2-10~3 с), и между п (Е) и h (Е) имеется приближенное соотношение
п(Е) + Я(Е) ^G = const (да 0,85). (4.3)
Упрощение уравнений Ходжкина — Хаксли оказывается несколько отличным от упрощения уравнений Нобла. Формально все сводится к тому, что переменная т заменяется на т (Е) (как и в уравнениях Нобла), а переменная h заменяется на (G — п), и из исходных уравнений Ходжкина — Хаксли (Н — HJ
СЁ = — [gn^h (Е — Еш) + gKn4 (Е — ЕК) -f-+ Si — ^;)J + 1е\> т = [т (Е) — т\Ыт (Е), (4.4)
п = [й (Е) — n]/tn (Е),
h = [h (Е) - h]/xh (Е)
получается система
а СЁ = - [gmms (Е) (G -п)(Е- Еш) + gKn4 (Е - Ек) +
+ Si № — Ef)] + 1ех,
п = [fi (Е) — n]/tn (Е). (4.5)
Здесь в отличие от уравнений Нобла фронты импульсов оказываются ускоренными, и улучшить описание быстрых процессов можно, положив а = 3. Эту систему (при а = 3) далее будем
называть системой Н — Н2 (обоснование этого перехода см. в раз-
деле 4.5).
