Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
* Использовалось преобразование Е-> Е --- ДЕ.
Эти оценки показали, что построенные системы второго порядка описывают электрофизиологические характеристики мембран с хорошей точностью (10—15% для модели Ходжкина — Хаксли и 1—3% для модели Нобла), и поэтому имеет смысл анализировать характеристики мембран с помощью этих упрощенных уравнений. Перейдем к исследованию мембран качественными методами.
4.2. Фаэовые портреты систем второго порядка Модель Н — Н2
В системе Н—Н2 переменная Е оказывается более быстрой, чем п(хеНп -Ю-1). Траектории решений таких систем на фазовой плоскости определяются расположением изоклин п = 0 и Е = 0. Изоклина п = 0 находится из второго уравнения системы (4.5) и имеет вид
п = п (Е). (4.6)
Изоклина Ё = О находится из первого уравнения системы (4.5). Ее уравнение
gKn\E — Ек) + gNa(G — п) т3 (Е) (Е — Exit +
+ Si(E — Et) — I ех = 0. (4.7)
Рассчитанные на ЦВМ нуль-изоклины приведены на рис. 31. Они похожи на изоклины уравнения Фитц-Хью [11] — модифицированного уравнения Ван дер Поля. Изоклина Ё = 0 имеет N-образную форму, что обеспечивает генерацию импульса. Особая точка расположена на левой ветви изоклины Ё — 0 и устойчива. Это соответствует отсутствию спонтанной активности в исходных уравнениях Ходжкина — Хаксли четвертого порядка (Н — Н4).
Модель N2
Эта система также релаксационная (te/tu — 10-2), и ее фазовый портрет определяется нуль-изоклинами:
gк-2 (Е — Ек) п* + ^KL (Е — Ек) + (gNa m3h + d)(E — Е^Л) + + gi(E — Ei) — lex = 0 (изоклина Ё = 0),
n = 7г (Z?) (изоклина h = 0). (4.8)
Нуль-изоклина Ё = 0, как и в случае уравнений Н — Н2, имеет вид, характерный для колебательных систем типа Ван дер Поля (рис. 32). В отличие от модели Н — Н2 уравнение N2 для покоящейся мембраны имеет три стационарные точки (S, Su S2) (рис. 32, б).
4.3. Исследование основных режимов мембраны аксона кальмара с помощью качественных методов
Свойства полной модели Ходжкина — Хаксли, как правило, изучались с помощью расчетов на ЦВМ. Так как модели второго порядка хорошо описывают свойства моделей четвертого порядка, оценки свойств решений исходных уравнений можно легко получить по графикам нуль-изоклин уравнений второго порядка. Ниже будет продемонстрировано, как самые различные электро-физиологические явления могут быть объяснены не только качественно, но и количественно в терминах фазовых портретов редуцированных моделей.
Спонтанная активность. Известно, что в клетках, не обладающих спонтанной активностью, последняя может быть вызвана, например, увеличением натриевой или уменьшением калиевой
Рис. 31. Нуль-изоклины (Ё = 0, п — 0) модели Н—Н2. Стационарная точка 6’ лежит на левой ветви и устойчива
Рис. 32. Нуль-изоклины модели N2
а — исходная модель Нобла (N<) спонтанно активна (в модели N2 особая точка S лежит на средней ветви изоклины Ё = 0 и неустойчива); б — модель N4 без спонтанной активности (в модели Nj имеется устойчивая особая точка S, она определяет потенциал покоя)
п -1 п*0
-------'
У
п -1 п=0
/ ' '^SE*0
/ 1
О
100
100 Ем В
Рис. 33. Нуль-изоклины системы Н—Н2, соответствующие трем различным состояниям мембраны, описываемой уравнениями Н—Н4
а — покой (особая точка S устойчива, лежит на левой ветви изоклины Ё =¦ 0); б — спонтанная активность (особая точка S неустойчива, лежит на средней ветви), пунктиром показана проекция предельного цикла системы Н — Н4 на плоскость («, Е); в — устойчивая деполяризация (особая точка S устойчива, расположена на правой ветви). а: — параметры системы соответствуют нормальной мембране; б, в: — график функции т (Е) сдвинут соответственно на 5 и 20 мВ влево
проводимости [13J. Однако при этом автоколебания возникают далеко не всегда; например, значительное увеличение натриевой проводимоси может и не привести к появлению спонтанной активности [19]. Система Н — Н2 позволяет легко определить, когда какой случай реализуется.
Анализ основан на том, что спонтанная активность в модели четвертого порядка Н — Н4 возникает тогда, когда в модели второго порядка Н — П2 точка покоя теряет устойчивость (при этом появляется предельный цикл, и возникают автоколебания). Для релаксационных систем с достаточной для анализа степенью точности устойчивость может быть определена по нуль-изоклинам: особые точки, расположенные на средней ветви изоклины Ё = О, неустойчивы; расположенные на левой или правой ветви — устойчивы.
Изоклины системы Н — Н2 при параметрах, соответствующих модели аксона, показаны на рис. 33, а. Особая точка устойчива (расположена на левой ветви), и мембрана не обладает спонтанной активностью. При изменении параметров изоклины деформируются. Если при этом особая точка станет неустойчивой (сместится с левой ветви изоклины Ё = 0 на среднюю и не появится новых устойчивых особых точек), то возникает спонтанная активность (рис. 33, б).
