Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
5 неустойчиво одно из трех стационарных состояний
vzm
поскольку из Spi ^> 0 следует: Лх < 0. Аналогично, если вследствие продуктной активации Sp2 0, то предположение о субстратном угнетении влечет за собой А < 0.
Таким образом, субстратное угнетение и продуктная активация, взятые в отдельности, могут быть причиной существования множественности стационарных состояний и незатухающих колебаний, но совместное действие этих регуляций делает автоколебания в моносубстратной реакции невозможными.
Из выражений (2.49) — (2.52) видно, что субстратная активация и гиперболическая зависимость v от ох эквивалентны по своему влиянию на А и Sp, поскольку в обоих случаях Aj 0 и Sp1 > 0. Если при этом продукт угнетает, то Д2 ]> 0 и Sp2 < 0, т. е.
в реакции возможно только одно устойчивое стационарное состояние.
Рассмотрим более подробно случай угнетения субстратом и продуктом и покажем, что свойства такой реакции аналогичны свойствам реакции (2.12). Выражение (1.75) для скорости реакции имеет вид более сложный по сравнению с феноменологической моделью (2.16), поэтому уравнение выходной характеристики в явном виде получить не удается. На рис. 14, б показано семейство выходных характеристик, построенное по ураннению
а на рис. 14, а представлены области плоскости параметров (Plt vim), в которых форма выходной характеристики имеет качественно различный вид. Параметрический портрет, представленный на рис. 15, получен численным решением неявных уравнений линий Sp = 0 и А = 0. Из него видно, что в динамическом отношении (число стационарных состояний, устойчивость, возможность колебаний) рассматриваемая модель эквивалентна не только модели
(2.15), но и модели (2.41) двухсубстратной реакции. Кроме того, в работе [75] были продемонстрированы сходные динамические свойства и для случая продуктной активации в модели (2.47).
Если олигомерный фермент катализирует двухсубстратную открытую реакцию, то в ней возможны те же нелинейные эффекты. Покажем существование гистерезиса входной характеристики для реакции (2.32), скорость которой имеет вид выражения (1.102). Примем, что фермент аллостерически угнетается субстратом Sj, т. е.
где цг = KJK, — константа диссоциации комплекса субстрата с аллостерическим центром, nt — число аллостерических центров на молекуле фермента. Пусть ст* — ст4 = 0, форма Т неактивна (а = сх = с2 = 0) и п = 4, пj = 8. Тогда выражение (1.102) существенно упрощается:
Vim — PiCTi — v = 0,
(2.53)
L = L0 (1 + UjtrXs
v =
вгва [(1 + Gj) (1 + о2)13
(2.54)
[(1 + cxjHI + a„)l« + Lo(i + |VJi)8 '
Учитывая скорости притока Sj и регенерации S2 (2.34), запишем в безразмерной форме математическую модель, аналогичную модели (2.36):
Рис. 16. Квазистационарная кривая в модели (2.55), полученная сечением поверхности скорости двухсубстратной проточной реакции (?,+ Продукты)
плоскостью источника субстрата (Vi = vlm — PxOi), и устойчивый предельный цикл С+ при vlm = 0,5, Pi = 0,5/180, е = 0,001, L0 = 10-3, ^ = 0,1
При указанных параметрах олигомер Е (R, Т) аллостерически угнетается субстратом Si.Стрелками показано направление движения по предельному циклу
Pi = KK\l(nVJ, = k2KJ(nV+), vim = vlml(nV+),
V2m = kf0l(nV+), 8 = Kt/K2, x = nV+tlK„. (2.56)
Константы V'+, Kt, K2 использовались при выводе выражения скорости (1.102). На рис. 16 показан график скорости реакции (2.40) как функция переменных аг и сг2, пересекаемый плоскостью v = vlm — Линия пересечения является квазистационарной характеристикой системы, поскольку на ней выполняется условие Р (сг1? сг2) = 0. Как и следовало ожидать, при субстратном угнетении квазистационарная кривая имеет гистерезисный характер. Второе сечение плоскостью v = v2m — |32(Х2 на Рис- ^ не показано, а отмечена лишь стационарная точка О. Численное интегрирование системы (2.55) показывает, что точка О неустойчива, и в системе существует устойчивый предельный цикл С+ (см. рис. 16). Можно показать, что аналогичная зависимость скорости реакции от и сг, существует и в случае неаллостерического (изоетерического) угнетения субстратом SI? если в выражении (1.Ю2) взять достаточно малое значение константы L и с, Ф 0.
2.5. Разнообразие поведения
открытых ферментативных реакций
Множество областей параметрического портрета открытой реакции (см. портреты на рис. 9, 12 и 15) означает множество качественно различных фазовых портретов реакции. К атому следует добавить, что каждый отрезок границы области параметрического
где
портрета, заключенный между двумя соседними пересечениями границ, каждая точка пересечения или касания таких границ, а также точки вырождения, лежащие на границах (например, точ ки, в которых а3 = 0 на границе Sp = 0, или точка возврата границы А = 0), дают свои особые, качественно отличные от других фазовые портреты.
В свою очередь, каждый фазовый портрет обычно представляет собой совокупность фазовых траекторий различного типа — траекторий, представляющих различные типы поведения моделируемой реакции во времени в зависимости от начальных условий. В общей сложности открытая ферментативная реакция, имеющая гистере-зисную квазистационарную входную (выходную) характеристику, может иметь в зависимости от значений параметров или начальных значений концентраций сотни качественно различных форм динамического поведения. Если реакция имеет больше чем три стационарных состояния и (или) описывается большим числом уравнений, то число возможных типов динамического поведения должно быть еще большим.
